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1、 1第一章 质点运动学 一、知识要点 1描述质点运动的基本物理量 位置矢量 ( )rr t=?位移矢量 21 =?rrr 速度矢量 d d=?r t加速度矢量 22dd dd=?ratt2速度、加速度在不同坐标系下的表达式 直角坐标系 =+?rxiyjzk dddd dddd=+=+?xyzrxyzijktttt ijk222=+xyz22222222dddd dddd=+=+?xyzrxyzaijktttt a ia ja k222 xyzaaaa=+ 平面极坐标系 若质点在平面内运动，在平面内取一固定点为极点，另取一固定直线为极轴，组成平面极坐标系。从极点到质点引一矢量?r，称为径矢，则
2、( )=? rrr t e 其中r表示极点到质点的距离，?re表示径矢方向的单位矢量，称为径向单位矢量。质点的方位角记为，?e表示方向的单位矢量，称为横向单位矢量。任何矢量均可在re?和e?方向上作正交分解。 2ddddd ddddd=+=+=+?r rrrrerrrererettttt ee22 =+? r22 22 22ddd1 dd() ()ddddd=+=+?rrrrrareretttrtt a ea e22 raaa=+ 自然坐标系 在某些问题中，若已知质点的运动轨迹，那么可在此曲线轨迹上任选一定点o，则质点的位置可用其和o点间的路程s来表示 ( )ss t= d d=? oos t
3、0 020000ddd ddd d d =+=+=+? natttnt aa n22 naaa=+ 0?为切线方向的单位矢量，0?n为法线方向的单位矢量，为曲线的曲率半径。 3圆周运动 角位置 ( ) t= 角位移 ( )( )+=ttt角速度 d d=t角加速度 22dd dd=tt角量与线量之间的关系 = R，aR=，2 naR= 4相对运动 绝对相对牵连=+?rrr 3绝对相对牵连=+?绝对相对牵连=+?aaa 或 ACABBCrrr=+? 对对对A对CA对BB对C=+?ACABBCaaa=+? 对对对二、名师指点 质点是一种理想的抽象模型，是只考虑其位置和质量，不考虑其大小和形状的抽象
4、的、合理化模型。质点模型可将任何复杂的、具体的物体用简单的模型来代替，忽略次要因素，抓住主要矛盾，以便研究其运动规律。物体是否被视为质点可根据研究问题的性质而决定，并不依赖于物体的线度、尺寸和形状。采用质点模型是一种重要的科学研究方法。 质点运动学的问题总体上可分为两类： (1) 已知质点的运动方程( )rr t=?，求质点的速度?和加速度a?。对于此类问题，只需要按运动方程对时间 t 求导即可； (2) 已知加速度a?及初始条件，求速度和运动方程。对于这类问题可应用积分法求解。对有些问题，要先进行分离变量或变量代换，再利用积分法解之。 在实际求解中，可由题目的已知条件和要求解的物理量，判断属
5、哪一类问题。不同类型的问题采用不同方法求解。另外应选择合适的坐标系。一般采用直角坐标系，但对圆周运动或曲线运动采用自然坐标系更为方便。 三、精选题解 例 11 一质点在x轴上作加速运动。开始时0xx=，0=。求： （1）设akt=，其中k为常量，求任意时刻的速度和位置； （2）设= ak，求任意时刻的速度和位置； （3）设akx=，求任意位置的速度。 【思路分析】 从题目中已知条件与要求的物理量关系可看出， 这是运动学中的第二类问题，即已知加速度求速度与位置的问题。此类问题用积分法，并根据加速度表达式的不同采用不同变量的积分；另外注意在（1） 、 （2）问中，求任意时刻的速度和位置，即要求v、
6、x与时间t的关系。 解 （1）由akt=即 d d=kttdd= kt t 两边积分，并注意0t =时，0=，则 00dd=tkt t 4得 2 01 2=kt 2 01 2=+kt 由 d d=x t得 2 01dd()d2=+xtktt 两边积分 02 001d()d2=+xtxxktt 得 3 001 6=+xxtkt （2）由d d= akt，分离变量可得 dd = k t 00dd =tk t 得 0ln = kt 即 0=kte 再由 d d=x t得 0dd=ktdxtet 两边积分 000dd=xtktxxet 得 0 0(1)=+ktxxek（3）由dddd dddd=xat
7、xtx得 ddd =a xkx x 两边积分有 00dd =xxkx x 得 2222 00()=+k xx 222 00()=+k xx 【方法要略】 在上面三种情况中， （1）akt=； （2）= ak； （3）akx=。即加速度分别为t、x的函数，而在dd= a t，dd=xt中积分变量均为t，所以对a的不同表达式在积分时应将积分变量变换成为与函数变量一致方可积分。 对第一种情况， 函数变量5为t，可直接积分；对第二种情况，函数变量为，应先分离变量然后积分；而对第三种情况函数变量为x，应先换元，再分离变量然后积分。 【知识扩展】 在（3）中，关系式2222 00()=+k xx可写成22
8、22 00=kxkx；当弹簧振子作简谐运动时，所受弹性力为Fkxma= =，即加速度kaxm= ，本题与此形式相似，简谐振动机械能守恒，此题中得出的2222 00=kxkx显然是机械能守恒的必然结果。 例 12 如图 12 所示，杆 AB 以匀角速度绕 A 点转动，并带动水平杆 OC 上的质点 M 运动，设起始时刻杆在竖直位置，OA = h。 （1）写出质点 M 沿水平杆 OC 的运动方程； （2）求质点 M 沿杆 OC 滑动时速度和加速度的大小。 【思路分析】 此题中的求解属于运动学中的第一类问题。可先求质点的运动方程，即求出任意时刻t质点的位置矢量。而质点 M 只能沿OC 杆运动，若选 O
9、C 方向为x轴方向，则质点的位置只由x确定。一旦写出x的表达式，速度和加速度由定义式即可求出。 解 （1）取x轴如图 12 所示，设t时刻M的坐标为x，AB杆与竖直方向的夹角为t=，则质点 M 的运动方程为 tanxht= （2）2 2dsecdcos=xhhttt22d2sectand=ahttt【方法要略】 求质点的运动方程就是求任一时刻t质点的位置坐标，此类问题的关键在于正确写出位置坐标与t的函数关系。 【知识扩展】 由22coscoscos=hhl t，l为 AM 的长度，l为 M 点的线速度，即cos=l 例 13 如图 13，直线 1 与圆弧 2 分别表示两质点 A、B 从同一地点
10、出发， 沿同一方向作直线运动的t图。 已知 B 的初速度0m/s= b，它的速率由0变为 0 所用的时间为12=tbs，(1)求 B在任意时刻 t 的加速度； （2）设在 B 停止时，A 恰好追上 B，求 A的加速度； （3）在什么时候，A、B 的速度相同？ 【思路分析】 本题是一个由t图求加速度的问题，即是由 t图求与t的函数关系表达式的问题。因此，关键是求出质点B（圆弧 2）的方程，进一步可求得加速度；而 A 恰好追上 B，就是 A、B 的位移相同，由此可解出 A 的加速度。 解 （1）设圆弧 2 的圆心在O处，其坐标为（0, h） ，圆弧的半径为 R；则在任意时刻 t 质点 B 的速度B
11、满足方程 6222()+=BthR (1) 将已知条件 0t =，0=Bb；12ttb=，0=B代入(1)解得 3 2hb=,5 2Rb= (2) 所以(1)式可写为 22 2 25 23= +bbtB 可解出 22253 42=Bbtb 所以 22d2 d254= B Btatbt(3) （2）由于质点 A 作初速度为零的匀加速直线运动，若 A 的加速度为Aa，B 停止时（1tt=） ，A 的位移 22 1122AAAxa ta b= (4) 而 B 的位移 222200253dd42=bbBBxtbtbt 22543(arcsin)852b= (5) A 追上 B 时有ABxx=，由(4)
12、 、(5)可解出 21 2543(arcsin)0.7m/s2852Aa = （3）由于质点 A 做初速为零的匀加速直线运动，所以 0.7=AAa tt 当=AB时，有 222530.742btbt= 解之得1.1=tbs 【方法要略】 由t图求解问题，必须清楚t图上的曲线表示的是与t的函数关系，不能与xt图混淆。一旦知道( )=t，则加速度即为对t的导数，位移为对时间t的积分。 7【知识扩展】 如图 13 所示，当 B 停止时，即1tt=时, A 恰好追上 B。所以直线l下的面积与圆弧线下的面积相等，表示二质点A、B的位移相等。 例 14 如图 14 所示，在离水面高为 h 的岸边，用绳拉着
13、船靠岸。设绳长为0l，当人以匀速0收绳时，船的速度、加速度各为多少？ 【思路分析】 运动学中最基本的方法是写出质点的运 动方程，由此即可求出速度和加速度；此题也可由几何约束 关系求得收绳速度与船速的关系，进一步通过求导得出加速度。 解 方法 1: 建立坐标系如图 14 所示，设0t =时，滑轮与小船之间的绳长为0l，则在时刻t，绳长为00=llt，此时小船的位置坐标为 2222 00()=xlhlth （1） 所以小船运动的速度 00002222 000 0()d d()()cos = = = ltlx tlthlhl x（2） 将（2）式再对时间求导，得小船的加速度 2222 00 22 3/23 00d d() = = hhatlth
