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1、理工高等数学 下 中期考试模拟试题（一） 1 2 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 一、解答下列各题（每小题一、解答下列各题（每小题4 4分，共分，共5252分）分） 1 1求极限求极限 2 2 1 1lim 10lim 10x x xyxyx x yaya。（a a）xyxy 2 21 1lim1lim1x x xyxyxy xyxy xyx x yayaxyxy limlimx x y xyy xyx x yayae e 1 1 limlimy yyayae e 1 1a ae e 3 2 2求求 2222( ,)2( ,)2f xyxxyyf xyxxyy处的方
2、向导数处的方向导数 f f l l 在点（在点（2 2，3 3） 的最大值。的最大值。 解解 2,32,3, ,gradf x ygradf x y 22222222xy ixyjxy ixyj2222ijij 所所求求方向导数最大值：方向导数最大值： , ,gradf x ygradf x y 4 42 24 42 24 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 3 3设设 lnlnxzxz，zyzy 求求 . .x x y y 解解 设设 , ,lnln, ,lnlnx xFx y zyzFx y zyzz z1 11 1y yx xz zF Fx x y yy y y
3、yF F z z 5 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 4 4设设 ( )( )f uf u可导，可导， 0,.0,.y yxzxyfxzxyfx x 求求 . .zzzzxyxyxyxy 解解 2 2zyyyzyyyyfxyfyfxyfxxxxxxx x zyyzyyxfyfxfyfyxxyxx 2 2yyyyyyyffyffxxxxxx 6 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 所以，所以， zzzzxyxyxyxy 2222yyyyyyyyxyfy fxyfy fxyfy fxyfy fxxxxxxxx 2 2y yxyfxyfx x .
4、.2 2z z 0,.0,.y yxzxyfxzxyfx x7 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 5 5求函数求函数 2222ln()ln()uxyzuxyz在在A A（1 1，0 0，1 1） 处沿点处沿点A A指向指向B B（3 3，2 2，2 2）方向的方向导数。）方向的方向导数。 解解 1 11,0, 11,0, 1ln1ln11 1 2 2x xdxdxu u xdxxdx 2 20 01,0, 11,0, 1ln 11ln 11y ydydyu u ydyydy 0 012120 0 11 2111 21y yy yyyyy 1 11,0, 11,0, 1
5、ln 1ln 11 1 2 2z zdzdzu u zdzzdz 1,0,11,0,11,0, 11,0, 1coscoscoscoscoscosuuuuuuuu lxyzlxyz 2, 2,1 ,2, 2,1 ,ABAB8 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 2, 2,1 ,2, 2,1 ,ABAB 221221,cos,cos,cos,cos,cos,cos333333ABABABAB所以所以 1,0,11,0,11,0, 11,0, 1coscoscoscoscoscosuuuuuuuu lxyzlxyz 1221221 11 11 10 0233323332 2
6、2 2 1,0, 11,0, 11 1 2 2u u x x 1,0, 11,0, 11 1 2 2u u z z 1,0, 11,0, 10 0u u y y 9 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 6 6计算积分计算积分 2222 0 0sinsin. . y yx xdydxdydxx x 解解 （交换积分次序）（交换积分次序） 2 2 0 0sinsinxdxxdx 2222 0 0sinsiny yx xdydxdydxx x 2 2 0000sinsinx xx xdxdydxdyx x 0 02 21 1cos.cos.x x 10 成都理工大学成都理工大
7、学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 2 2sinsin, , y yx xFydxFydxx x 解法解法2 2（定积分分部积分）（定积分分部积分） 记记 则则 2222 0 0sinsiny yx xdydxdydxx x 2 2 0 0sinsinydyydy 0 02 22 2 0 0sinsiny yyFyydyyFyydyy y 0 02 21 1cos.cos.y y 11 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 7 7设设C C为椭圆为椭圆 2222 1,1,4343xyxy其周长记为其周长记为a a，求，求 2222(34)d .(34)d . C Cxy
8、sxys 解解 由由C C： 2222 22221: 3412.1: 3412.4343xyxyCxyCxy2222(34)d(34)dC Cxysxys 12d1212d12C Csasa 12 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 8 8设立体设立体 由曲面由曲面 2222zxyzxy及及 2222zxyzxy围成，求围成，求 的体积。的体积。 解解 由两曲面的交线：由两曲面的交线： 2222222222222222zxyzxyzxyzxyxyxyxyxy 222222221010xyxyxyxy22221010xyxy22221 1xyxy22221 1xyxyxy
9、z2222zxyzxy2222zxyzxy13 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 1 1VdxdydzVdxdydz 2 221210000r rr rdrdrdzdrdrdz 1 1 2 20 02 2rrrdrrrrdr 6 6 xy2222zxyzxy2222zxyzxy14 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 9 9设设 1 1()(),()(),zf xyyxyzf xyyxyx x 具有阶连续偏导数，求具有阶连续偏导数，求 其中其中 , ,f f 2 2 . .z z x yx y 解解 记记 1 1,(),(),(),(),gx
10、yf xyh x yyxygx yf xyh x yyxyx x 则则 2 2zghzgh x yxyyxx yxyyx ()()fxyyxyfxyyxyxyxy (. .)yfxyxyyxyyfxyxyyxy 15 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学模拟试题模拟试题 1010求向量场求向量场 2222A( ,)ijln(1)kA( ,)ijln(1)kz zxyzxyyexzxyzxyyexz在点在点P P（1 1，1 1，0 0）处散度）处散度divdivA A。 解解 这里这里 222222,ln 1,ln 1,Px yxyQx yyeRx yxzPx yxyQx yyeRx y
11、xz于是由公式，于是由公式， 1, 1,01, 1,0divA 1,1,0divA 1,1,0PQRPQR xyzxyz 2222 2 21, 1,01, 1,02 22 21 1xexeyeyez z 16 1111设曲线积分设曲线积分 2 2d( )dd( )dL Lxyxyxyxyxyxy 与路径无关，与路径无关， 其中其中 具有连续的导数，且具有连续的导数，且 (0)0,(0)0, 计算计算 (1,1)(1,1)2 2(0, 0)(0, 0)d( )dd( )dIxyxyxyIxyxyxy 解解 因为曲线积分因为曲线积分与路径无关，与路径无关，则则 2 22 2yxxyyxxyyxxyyxxyxyxy 2 ,2 ,xxxx 得得 2 2, ,xxCxxC 由由 (0)0(0)0 =0=0
