信息工程概论课件-01

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1、欢迎指正 A First Course in Wavelets with Fourier Analysis Albert Boggess and Francis J. Narcowich 小波与傅里叶分析基础小波与傅里叶分析基础 Haar 小波分析小波分析 Fourier 变换只能提供频率信息（信号的震荡） ，不能直接给出什么时候震荡发生这一信 息。 地震数据 短时 Fourier 变换更适于做这件事。整个时间区间被划分为许多等长小时间区间；在这 些小区间上逐个使用 Fourier 变换。分析结果同时包含了时间和频率信息。然而使用这种方 法存在一个问题： 时间小区间长度不可调； 因此很难觉察到

2、那种有很短持续期的高频脉冲串 的出现时间。 使用小波可以保持时间轨迹和频率信息。 小波可以放大前面提到的短脉冲串， 或者缩小 觉察到的长期的慢振荡。 在小波分析中，有两个函数发挥着基本作用，它们是尺度函数和小波函数。这两个函数生成可以分解和重构信号的函数族。 最简单的小波分析建立在 Haar 尺度函数基础上。 Haar 尺度函数 考虑下图所示信号。 可以将此信号视为某物理量的度量、 比如作为时间函数的单回路电 路电压。 欢迎指正 电压表测量数据 图中两个尖锐的脉冲可以表示电表中的不良连接形成的噪声，并且需要滤掉这种意外的噪 声。下图显示了使用 Haar 结构单元（Haar 尺度函数的平移）对这

3、一信号的一种可能逼近。 Haar 结构单元对上述信号的一种逼近 高频信号表现出高且细的单元特征。删除高细单元的算法将排除噪声且不影响信号。 由 Haar 尺度函数生成的结构单元特别简单，并且能够说明隐含于多分辨率分析中的一 般思想，多分辨率分析是后面要详加讨论的问题。Haar 小波的弱点是其不连续性，因此其 无法很好地逼近连续信号。在后面的章节中将引入其它小波，例如 Daubechies 小波就是连 续函数，它同时又具有 Haar 小波对局部特征的刻画能力。 定义 Haar 尺度函数为 =其它1001)(xx。 前面已经给出了 Haar 尺度函数的图形。 函数)(kx 与)(x有相同的图形，只

4、不过向右移动了k个单位（k是整数） 。 定义 0 级分段常数函数空间为所有形如 0V Zkkkxa)(0， Rak0的函数构成的空间，通常在整数集kZ的有限子集上取值。 此时也称由函数集0V| )(Zkkx生成，记为 欢迎指正 | )(00 0RakxaVk Zkk= 。 由于)(kx 在和kx =1+= kx处不连续，所以的另一种描述是：它由所有不连续点在整数处的分段常数函数组成。通常中元素有有限的或紧的支撑，也就是在有界集外为零。下图给出了空间中典型元素的图形。 0V0V0V空间中典型元素 0V注意：中的函数并非在所有整数点处都不连续 （例如0V21aa =时， 前述和函数在处就连续） 。

5、 2=x)3()2(3) 1(3)(2)(+=xxxxxf 为分析高频信号，需要尽可能细的单元。下图所示结构单元宽度仅为)(x的一半，它是)2(x的图形。 )2(x 函数)2(2()2(kxkx=与)2( x有相同的图形，只不过向右移动了2k个单欢迎指正 位。 定义 1 级分段常数函数空间为所有形如 1V Zkkkxa)2(1， Rak1的函数构成的空间，通常在整数集kZ的有限子集上取值。 此时也称由函数集1V| )2(Zkkx生成，记为 | )2(11 1RakxaVk Zkk= 。 从几何上看，中函数的不连续点在半整数处（1V,23, 1,21, 0） 。 )32()22(2) 12(2)

6、2(4)(+=xxxxxf 对于为非负整数。定义级分段常数函数空间为所有形如 jjjV Zkjj kkxa)2(， Raj k的函数构成的空间，通常在整数集kZ的有限子集上取值。 此时也称由函数集生成，记为 jV| )2(Zkkxj| )2(RakxaVj k Zkjj kj= 。 jV中函数的不连续点在下述集合中 ,23,22,21 , 0 ,21,jjjj。 容易看出 ?+11210jjjVVVVVV。 欢迎指正 这一约束关系是严格成立的。例如函数)2(x属于，但不属于（因为1V0V)2(x在21=x处不连续） 。 包含所有直到级分辨率尺度的相关信息。随着的增大，分辨率变得更细。意味着不会

7、因为分辨率变细而丢失信息。 这种包含关系也是用定义而不用jVj2j1+jjVV)2(xjjV)(ax（a为因子）的原因。例如，如果用)3(jx 而不用)4(jx 定义，那么将不包含（因为2V2V1V31的倍数构成的集合不包含21的倍数构成的集合） 。 容易证明：函数的充要条件是；函数0)(VxfjjVxf)2(jVxf)(的充要条件是。 0)2(Vxfj函数集合| )(Zkkx是的标准正交基。 0V11)(|)(|122 2=+kkLdxdxkxkx。 如果，那么kj )(jx 和)(kx 有不相交的支撑（见下图） 。 )(jx 和)(kx 有不相交的支撑 因此 0)()()(),(2=dxk

8、xjxkxjxL，kj 。 同理可得下述更一般的结果。 函数集合| )2(22Zkkxjj是的标准正交基（由于jVjjdxx21)2(2=，所以出现了因子22j） 。 注意，但是。 jjVV11jjVV定义 Haar 小波函数为 ) 12()2()(=xxx。 欢迎指正 Haar 小波函数 记 =ZkkkRbkxbW| )(00 0， 则可以证明： 001WVV=； 即是在中的正交补。 0W0V1V更一般地，记 =Zkj kjj kjRbkxbW| )2(， 则可以证明： jjjWVV=+1； 即是在中的正交补。 jWjV1+jV要证明这个结论，必须指出两个事实。 1. 中的每一函数正交于中的

9、每一函数。 jWjV2. 中任意正交于的函数必在中。 1+jVjVjW逐次分解、等等就有 jV1jV002122111VWWWVWWVWVjjjjjjjj=?。 因此中的每一都可唯一分解为和式 jVf0021vwwwfjj+=?， 其中（） ，llWw 10jl00Vv 。 因为空间中任意函数都可以用连续函数逼近， 任意连续函数都可以用分段常数函数逼近，所以空间可以分解为无限正交直和 )(2RL)(2RL欢迎指正 ?=1011002)(WWWWWVRL。 特别地，任意可唯一表示为 )(2RLf =+=kk kkwwvf00， 其中、（） 。 00Vv kkWw Zk 在实际应用中通常取 +=+

10、mllkklwvf， 其中 为可接受的大尺度，为可接受的小尺度。 lml + Haar 分解与重构算法分解与重构算法 分解分解 现在已经被分解为和jV00Vv llWw （10jl）的直和，从理论上讲，解决噪声滤波问题很容易。 首先根据定理 4.9 用阶梯函数jjVf （适当取） 逼近， 然后分解为 jfjf0021vwwwfjjj+=?。 分量表示宽度为lw121+l的脉冲。对于充分大的l，这些脉冲细到足以表示噪声。假设宽度小于的脉冲表示噪声；因为，所以任意的都表示噪声。通过设置这些分量为零就可以滤掉这些噪声。此时和式的其余部分表示了仍然相对接近的无噪声信号。 01. 076201. 026

11、llwf为了实现这一理论算法，需要给出实施分解的有效方法。第一步，用形如 =Zlj ljlxaxf)2()( 的阶梯函数逼近原始信号。逼近过程就是在f,21 , 0 ,21,jjx=处对信号抽样，抽样结果产生)2(j llfa =（） 。下图说明了这一抽样过程，其中为连续信号，为阶梯函数。 Zlfjf欢迎指正 对连续信号的抽样 fjf此处要适当选择，以便网格尺寸小到足以捕获信号的本质特征。l的变化范围依赖于信号的定义域。若信号定义在jj2jf10 x上，则 的变化范围就是0。除非讨论具体的例子，一般不指定l的变化范围。 l12jl现在的任务就是对于，将分解为它的分量。这需要下述jl )2(lx

12、jlW和之间的关系： 2)()()2(xxx+=， 2)()() 12(xxx=， 此二式很容易由他们的图形看出。更一般的结果是下述引理。 引理引理 对所有的Rx有下述关系成立： 2)2()2()2(11xxxjjj+=， 2)2()2() 12(11xxxjjj=， 用代替（4.4）式和（4.5）式中的xj 12x即可推出此引理。可以根据此引理，对，将分解为它的分量。下述例子可以帮助说明这一过程。 jl )2(lxjlW假设由下图给出。 f为了捕获所有的特征，所需网格尺寸为。 f22欢迎指正 注意到为了捕获所有的特征，所需网格尺寸为。而可用表示为 f22)(xf) 12(2x)34()24(

13、) 14(2)4(2)(+=xxxxxf。 下面希望将分解为它的、和分量。由f1W0W0V2=j时的两式可推得下述方程： 2)2()2()4(xxx+=， 2)2()2() 14(xxx=， 2)12() 12()21(4()24(+=xxxx， 2)12() 12() 1)21(4()34(=xxxx。 将这些方程代入前式，并合并同类项就有 )2(2) 12()(xxxf+=。 因为是由1W| )2(Zkkx张成的线性空间，所以) 12(x是的分量。而)(xf1W)2(2x是的分量。用方程)(xf1V2)()()2(xxx+=可以将这个分量进一步分解为分量和分量。最终结果是 0W0V)()(

14、) 12()(xxxxf+=。 可以通过考察函数图形，从几何上验证这个结论。表达式右边的各项分别是在、和中的分量。 f1W0V0W定理（定理（Haar 分解）分解） 假设 j Zkjj kjVkxaxf=)2()(。 那么可以分解为 jf11+=jjjvwf， 其中 111 1)2( =j Zkjj kjWkxbw，21221j kj kj kaab+=； 111 1)2( =j Zkjj kjVkxav，21221j kj kj kaaa+=。 现在可以用代替重复上述过程，将分解为1jj1jv21+jjvw。继续这一过程就得欢迎指正 到整个分解 0021vwwwfjjj+=?。 概括整个分解

15、过程为：首先离散化信号，以产生定理描述的那种逼近信号。然后用前述结论中的算法分解为其各频率分量之和：jjVf jf0021vwwwfjjj+=?。 考虑下图所示定义在单位区间10 x上的信号。 f定义在单位区间10 x上的信号 f由于宽度为821的网格似乎能够捕获此信号的本质特征，所以在个节点上离散化此信号（因此82)2(88kfak=，） 。于是为了达到此时的目的， 1208 k=12088 88 )2()2()(kkxkfxf 作为近似已经足够好了。对于f0 , 1 , 6 , 7=j，用定理 4.12 将分解为中的分量和。下面三图分别给出了、8f8V88Vf 77Vv 66Vv 和44Vv 的分量图。 88Vf 的分量图 欢迎指正 77