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1、 第三章习题课一、二维随机向量概率分布的描述方式1、联合概率函数与边缘概率函数2、联合密度函数与边缘密度函数3、联合分布函数与边缘分布函数1、联合概率函数与边缘概率函数 联合概率边缘概率 联合概率函数的性质正定性:归一性: 联合概率与边缘概率的关系即已知联合概率,如何求边缘概率?方法:把联合概率列成二维表的形式，然后逐行累加,逐列累加。判断题对于离散型二维随机向量，(X,Y)的联合概率 和边缘概率 一定有( )对如果(X,Y)的分布列为则其中c可以是任意常数。( )错填空题设随机变量X与Y的联合分布为则 如果X与Y相互独立，则 设X与Y相互独立且同服从参数 的0-1分布，则XP0 1YP0 1
2、解2、联合密度与边缘密度 联合密度边缘密度 联合密度函数的性质正定性:归一性: 联合密度与边缘密度的关系:即已知联合密度,如何求边缘密度?方法:联合密度对其中一个变量积分，得关于另一个变量的边缘密度，即 对于连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度 f (x, y) 和边缘密度 一定有( )判断题对( ) 如果 则对交换积分次序 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中, 则填空题 设(X,Y)的密度函数为则xyo1设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D由曲线及直线 围成，则(X,Y)的关于X的边缘密度在 点的值为_.xyo1xyo13、联合分布函数与边缘分布函数 联合分布函数边缘分布函数联
3、合分布函数的概率意义yo(x, y)(X, Y ) x联合分布函数的概率意义:yo(x, y)(X, Y ) x求矩形区域上概率的两种方法： 联合分布函数的性质 规范性 单调不减性 右连续性 设（X，Y）的分布函数为则常数联合分布函数与边缘分布函数的关系即已知联合分布函数,如何求边缘分布函数?方法:在联合分布函数中，令其中一个变量趋 于正无穷求极限，得关于另一个变量的边缘分布 函数，即9.已知二维随机向量(X,Y)的分布函数为求 常数A； 关于X、Y的边缘分布函数；解： 已知联合分布函数,可以求出边缘分布函数.反过来,已知边缘分布,可否求出联合分布呢?一般来说,光知道X和Y的边缘分布函数,是求
4、 不出(X,Y)的联合分布函数的。因为联合分布中还蕴含着X和Y之间的关系。 你必须提供这种关系，我才能写出联合分布。对于联合概率函数和联合密度函数也是一样 的。例如 对于二维正态分布 可得但是，反过来，由能得到由 联合密度函数与联合分布函数的关系联合分布函数是联合密度函数的二次变上限积分联合密度函数是联合分布函数的二阶混合偏导数12设(X,Y)的密度函数为求 (1) 常数a；(2)联合分布函数解（）当x0,y0时随机向量的独立性1、独立的三个充分必要条件2、一个有用的结论若 X 与 Y 相互独立，则它们的连续函数 g (X)与 h (Y) 也相互独立。 如果 则( ) 如果X与Y相互独立，且则
5、(X,Y)服从区域上的均匀分布。 （ ） 设 则( )二维随机向量函数的概率分布1、离散型2、连续型方法:列表法或代数式法方法:分布函数法加一道例题二维随机向量的数字特征一、期望向量与方差向量二、函数的期望（离散型）（连续型）变函数不变分布不必求 X 的边 缘分布若(X,Y )为二维离散型随机变量，则若(X,Y )为二维连续型随机变量，则直接由联 合分布求 X的期望 如果EX，EY都存在，则( )三、期望和方差的性质一维：二维：1. E(X+Y) = EX+EY2. E(XY)=EXEY独立独立 独立如果 则X与Y相互独立。 （ ）设随机变量 相互独立，其中 服从参数的指数分布，令 则四、协方
6、差1、协方差的计算公式离差的乘积的期望乘积的期望减期望的乘积8. 若X与Y相互独立，则 Cov(X,Y) 06. Cov(X+Y, X-Y) =DX-DY7. D(XY) = DX+DY2Cov(X, Y)4.Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y)5. Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z)1. Cov(X, Y)= Cov(Y, X)3. Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) 2. Cov(X, X)= DX, Cov(Y, Y)=DY2、协方差的性质 （ ） （ ）若 则X与Y相互独立. （ ）五、相关系数1、相关系数的计算2、相关系
7、数的性质独立3、相关系数的意义相关不相关正相关负相关有一定的相关关系，且 越大, 相关程度越大4、独立与不相关的关系独立一定不相关不相关不一定独立若X与Y不相关，则 ( )设任取n件产品，其中次品数为X，正品数为Y，则X与Y的相关系数为-1。 （ ）设X与Y同分布且方差存在，则X+Y与X-Y不相关。（ ）已知DX=1，DY=4，如果X与Y相互独立，则D（2X-Y+1）=_；如果X与Y的相关系数则二维正态分布1二维正态分布的两个边缘分布均为 一维正态分布。3若 ,则（a、b不全为零）设 则( )如果X与Y相互独立，且都服从正态分布，则X+Y一定 服从正态分布。 （ ）二维正态分布的边缘分布一定为
8、正态分布。 ( )二维均匀分布的边缘分布也是一维均匀分布。( )已知 且X与Y相互独立，则中心极限定理定理.13（林德伯格列维中心极限定理）定理 3.14 (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）定理.12（李 雅普诺夫中心极限定理）大量的独立的微小的随机变量之和渐近正态分布独立同分布的随机变量序列之和渐近正态分布当n充分大时,二项分布以正态分布为极限分布在实际计算中,定理 3.14以下面两个定理的形式应用:1.局部极限定理:2.积分极限定理:设随机变量解 设每晚去上机的人数为X，则由中心极限定理，近似地有(2)设再购置k台才能使够用的概率达到95%以上,查表知由分布函数是单调不减性知即故再购置50台才能使够用的概率达到95%以上.199：54、55
