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1、同济大学第五版高等数学同济大学第五版高等数学( (下下) )课课件件D107D107斯托克斯公式斯托克斯公式一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 *二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下
2、列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证) 设函数 则定理2 目录 上页 下页 返回 结束 同理可证 故有若(3)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 与路径无关, 并求函数解解: 令 积分与路径无关, 因此例例3. 验证曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线
3、 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义定义: 沿有向闭曲线 的环流量环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:
4、例例4. 求电场强度 的旋度 .解解: (除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解解: 例例5. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、向量微分算子四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则高斯公式与斯托克斯公式可写成:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 在内与路径无关在内处处有在内处处有2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设 梯度梯度:机动 目录 上页 下页 返回 结束 散度散度:旋度旋度:则思考与练习思考与练习则提示提示:三式相加即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6补充题: 证明 习题课 目录 上页 下页 返回 结束
