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1、第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型2.1 回归分析概述 2.2 一元线性回归模型的参数估计 2.3 一元线性回归模型检验 2.4 一元线性回归模型预测主要内容：l变量间的关系及回归分析的基本概念l总体回归函数 l随机扰动项 l样本回归函数（SRF）2.1 回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念变量间的关系确定性关系或函数关系：统计依赖或相关关系：研究的是确定现 象，非随机变量 间的关系。研究的是非确定 现象，随机变量 间的关系。（1)确定性关系或函数关系SrS=r2确定性的函数关系：（2)统计依赖或相关关系消费支出Y可支配收入X￥10000￥ 10000￥9999￥1
2、0000￥100￥10被解释变量解释变量消费支出 Y可支配收入 X￥9999￥0￥10￥999.9￥1000￥10000单向因果关系（3)回归分析：统计依赖或统计依赖或 相关关系相关关系有因果关系无因果关系回归分析回归分析相关分析二、总体回归函数例2.1一个假想的社区有100户家庭组成，要 研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可 支配收入X的关系。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出 Y（元）给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件期望 E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y |
3、X=800)=605总体回归函数(population regression function,PRF）。 其中，0，1是未知参数，称为回归系数（ regression coefficients）。总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平 均的消费支出水平。那么给定收入水平，每个家庭的具体 消费支出如何用模型描述？三、随机扰动项某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均 水平有偏差称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（ deviation），是一个不可观测的随机变量，又称 为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机 误差项（stochastic e
4、rror）。 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和 :（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。（2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。(*)（*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设 定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影 响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型 ，因此也称为总体回归模型。随机误差项主要包括下列因素的影响：1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定
5、误差的影响； 4）其它随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因：1）理论的含糊性；2）数据的欠缺；3）节省原则。四、样本回归函数（SRF）问题：能从一次抽样中获得总体的近似的 信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体 的近似信息？该样本的散点图（scatter diagram)：样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合 该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归 线。该线称为样本回归线（sample regression lines）。记样本回归线的函数形式为：称为样本回归函数（sample regression function，SRF） 。 同样地，样本回归函数也有
6、如下的随机形式 ： 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此 也称为样本回归模型（sample regression model）。 YX2.2 一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计 一、线性回归模型的基本假设假设1：解释变量X是确定性变量，不是随机 变量； 假设2：随机误差项具有零均值、同方差和不 序列相关性：E(i)=0 i=1,2, ,nVar (i)=2 i=1,2, ,nCov(i, j)=0 ij i,j= 1,2,假设3：随机误差项与解释变量X
7、之间不相 关：Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（ Gauss）假设。假设4：服从零均值、同方差、零协方差 的正态分布iN(0, 2 ) i=1,2, ,n二、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n），普通最小二乘法 （Ordinary least squares, OLS）给出的判 断标准是：二者之差的平方和最小。方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。记上述参数估计量可以写成： 称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法
8、得到的 ，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。 例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的 表2.2.1进行。 因此，由该样本估计的回归方程为： 三、最小二乘估计量的性质高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量 是具有最小方差的线性无偏估计量。证 ： 易知故同样地，容易得出 四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计 先求 和 的方差。和 的方差：答案 哦关于 的方差推导可以自己试一试啦2、随机误差项的方差2
9、的估计由于随机项i不可观测，只能从i的估计残 差ei出发，对总体方差进行估计。 可以证明，2的最小二乘估计量为2.3 一元线性回归模型的统计 检验一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间 一、拟合优度检验 可决系数R2统计量可决系数的取值范围：0，1R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高。大家可以来自己算一下例题中的可决系 数是多少啦答案的进一步简化计算：2、变量的显著性检验在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的 线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。检验步骤：H0： 1=0， H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值（3）给
10、定显著性水平，查t分布表，得临界值t /2(n-2) (4) 比较，判断若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ；若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；大家尝试着对例题进行系数显著性检验吧（1）对总体参数提出假设t统计量的计算结果分别为： 给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值t 0.05/2(8)=2.306|t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信 度下显著，即是消费支出的主要解释变量；|t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝 截距项为零的假设。 三、参数的置信区间 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参 数可能的假设值的范
11、围（如是否为零），但它并 没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参 数的真值有多“近”。要判断样本参数的估计值在多大程度上可以 “近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过 构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间” ，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实 的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估 计。 一元线性模型中，i (i=1，2）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道： 意味着，如果给定置信度（1-），从分布 表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在 (-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示为： 即于是得到:(1-)的置信度下, i的置信区间是 又到自己计算的时
12、间了，同学们自己算一下例题的 参数置信区间吧（ 0.01）于是，1、0的置信区间分别为：（0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 答案哦：由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计 值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间 越小越好。要缩小置信区间，需（1）增大样本容量n，因为在同样的置信水平 下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大 样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；（2）提高模型的拟合优度，因为样本参数估计 量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越 高，残差平方和应越小。2.4 一元线性回归分析的应用：预测 问题一、0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个 无偏估计二、总体条件均值与个值预测值的置信区间 对总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时于是一、0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个无 偏估计二、总体条件均值与个值预测值的置信区间 由 Y0=0+1X0+ 知: 怎么推算的呢？大家不防自己试一试进一步构造t统计量：从而在1-的置信度下， Y0的置信区间为 第二章的内容到这里啦 谢谢大家
