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1、60天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-17-1 答案答案一、填空题一、填空题1. 3； 2. ； 3. ； 4.2yxC) 1e (21e2xy 31 232xy二、选择题二、选择题1. （A） ； 2. （D） ； 3. （C）. 三、计算题三、计算题1.1.解：解：分离变量，两端同时积分，有，即21dd xxx yy 21dd xxx yy；，所以，.2 11lnln(1)ln2yxC2 11yCx2 11()yCxCC 2.2.解：解：分离变量，两端同时积分，有，即xxyyyd3d2xxyyyd)3(d，所以.2 111(lnln(3)32yyxC2
2、 23 3e e3xC yy)e(e312323 Cx CCyy3.3.解：解：，分离变量，两端同时积分，有)1)(1 (dd2yxxyxxyyd)1 (1d2，将代入得，21arctan2yxxC0 ,1xy4C所求特解为.21arctan24yxx四、四、解：解：方程两边同时对求导，有，分离变量为x)()(2)(2xfxxxfxf，积分得通解.xxxxfxfd)21()()(d2Cxxxfln21)(ln用代入原式，得初始条件，再代入通解中，得，所以1x1) 1 (f1C.1121ln21 e1e)(xxx xxf61天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-
3、27-2 答案答案一、填空题一、填空题1. ； 2. 1，0；de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP3. ； 4. ； 5. .)(eCxyx222(2ln )yxx) 1e (2xyx二、选择题二、选择题1. （A） ； 2.（B） ； 3. （C） ； 4. （A）. 三、计算题三、计算题 1.1.解：解：方程写成，这是齐次方程，xy xy xylndd令，则，代入原方程得yuxyxuxuxuxy dd dd，分离变量，两端同时积分，有uuxuxulnddxx uuud ) 1(lnd，于是1ln ln1lnlnuxC，即，通解为.ln1uCx )(e11CCuCx1eCxxy2.
4、2.解：解：方程写成，这是一阶线性方程，由通解公式，有xyxyln11，CxxCxxxxCxxyxx xx lnlndln1deln1edd由初始条件，得，所求特解为.0) e (y0Cxxylnln四、四、解：解：由已知，有，即，这是一阶线性方程，xyxy1xyy当时，通解为0x；)ln()d()de(edd xCxxxCxCxyxx xx 当时，通解为0x.)ln()d()de(edd xCxxxCxCxyxx xx 62天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-37-3 答案答案一、填空题一、填空题1. ；3 121sin6yxxC xC2. 或；21) 1
5、(lnCxCxxy21lnCxCxxy3. ； 4. ； 5. .21lnCxCy12ln cos()yxCC 311162yxx二、选择题二、选择题1. （A） ； 2. （C） ； 3. （D）. 三、计算题三、计算题 1.1.解：解：设，则，方程变为，分离变量)(xpy )(xpy 2(1)0xpxp解得，即，通解为.121Cp x 21 1ddxC xyy 12arcsinyCxC2.2.解：解：设，则，方程变为，即)(ypy ppy 0dd2 pypyp，积分得，即，由初始条件知0ddyy pp1lnlnlnpyC1pyC，于是， 即，得，再由初始条件11 2C 1 2y yx 2d
6、dxyy211 22yxC知，特解为.1 2C 21yx3.3.解：解：方程两端同时积分，有，1221lndlndlnCxxx xx xxxxxy由，得，于是；0) 1 ( y11Cxxxy1ln1，y22lnln21d )1ln1 (Cxxxxxxx由，得，所以特解为.1) 1 (y02Cxxxylnln21263天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-47-4 答案答案一、填空题一、填空题1. ； 2 2. ；xCxCysincos21xxCCee213.xxxCCxye)ee(121二、选择题二、选择题1. （C） ； 2. （D）.三、计算题三、计算题1
7、.1. 解：解：该方程是二阶齐次线性微分方程，设，.2 1xy xxyln2 2将代入方程有，于是是方程的解；1y0462222xxx2 1xy 将代入方程有，也是方程解.2y0ln4)ln2(3)3ln2(22xxxxxxxx2y又不恒为常数，于是线性无关，xyyln/1221yy ，所以，是方程的通解.xxCxCyln2 22 10432 yyxyx2.2. 解：解： 将，代入方程恒成立，又011 yyxyye22 0 yy不恒为常数，所以函数是齐次线性微分方程xyy e/21xyye, 121的两个线性无关解.将，代0 yyxxaye ) 1()(*xxaye )2()(* 入方程，有，
8、得，所以非齐次线性微分方程xyye xxaee 1a的通解为.xyye xxxCCyee21四、四、证明：证明：将代入)()(12xyxyy0)()( yxQyxPy左式)()()()(111222yxQyxPyyxQyxPy 右式.0)()(xfxf所以，函数是齐次线性方程方程的解.)()(12xyxyy0)()( yxQyxPy64天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-57-5 答案答案一、填空题一、填空题1. ，；065 yyyxxCCy3 22 1ee2. ，；04 yyxCxCy2sin2cos213 3，.xxCCe )(2102 yyy二、选择题
9、二、选择题1. （C） ； 2. （C）.三、计算题三、计算题1.1. 解：解：特征方程是，特征根为，通解为.042 rr4, 021rrxCCy4 21e2.2. 解解：特征方程是，特征根为，01362 rrir232, 1通解为.)2sin2cos(e213xCxCyx3.3. 解：解：特征方程是，特征根为，03 rrirr3 , 21, 0通解为.xCxCCysincos3214.4. 解：解：特征方程是，特征根为，03654 rr3,24, 32, 1rir通解为.xCxCCCyxx2sin2cosee433 23 1四、四、解：解： 特征方程是，特征根为（二重根） ，通解为01442
10、 rr21r.将初始条件代入通解中可以得到xxCCy2121e )( 0)0(, 2)0(yy，故特解为.1, 221CCxxy21 e )2( 五、五、解：解：特征方程，特征根，通解为0342 rr3, 121rr，由，得，故所求积分xxCCy3 21ee 1)0(, 2)0(yy21,2521CC曲线为.xxy3e21e2565天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学 （一）检测题（一）检测题 7-67-6 答案答案一、填空题一、填空题1. ； 2.； 3 3； 4.xAxexCxBAx2sin2cos2xxxsin2二、选择题二、选择题1. （D） ； 2. （B）.三、计算题三、计算题
11、1.1.解解: : 特征方程是，特征根为，042rir2,21齐次方程的通解为，xCxCY2sin2cos21设非齐次方程的一个特解为，Ay *代入原方程可以求得，,2A故原方程的通解为.22sin2cos21xCxCy2.2.解：解： 特征方程是，特征根为，0442 rr221 rr对应齐次方程的通解为，xxCCY2 21e )(设非齐次方程的一个特解为，xAxy22*e代入原方程可以求得，1A故原方程的通解为.xxxxCCy222 21ee )(3 3解：解：特征方程是，特征根为，022 rr01r22r对应齐次方程的通解为，xCCY2 21e对方程，设一个特解为，代入方程，有xyye2
12、xAye* 1，得，于是.xxAee 1xye* 1对方程，设一个特解为， xyy42 CxBxCBxxy2* 2)(代入方程，有，得，于是.xBxCB44221 CBxxy2* 266所以，微分方程的一个特解是，xyyx4e2 xxxyyye2* 1* 2*故微分方程的通解是.xyyx4e2 xxxxCCyee22 214.4.解：解：特征方程是，特征根为，012r12, 1r对应齐次方程的通解为，xxCCYee21设非齐次方程的一个特解为，xBAxxye )(*代入原方程可以求得，1, 1BA故原方程的通解为，xxxxxCCye ) 1(ee21，将初始条件代入上xxxxxCCye ) 1
13、(ee2 211)0(, 0)0(yy两式，有得到 , 11, 02121 CCCC . 1, 121 CC故原方程的特解为.xxxxxye ) 1(ee天津科技大学天津科技大学高等数学高等数学(五五) )检测题检测题 8-18-1 答案答案一、填空题一、填空题1. ； 2. ； 3. ； cba6142)2, 1, 2(3132 32 313，4 4. ； 5 5. ，； 222 02 0zy 0z二、选择题二、选择题1.（B） ； 2. (C)； 3.（D）.67三、解答题三、解答题 1 1解：解：由，得，BNABMAMNDNCDMCMN)(21CDABMN而，于是.) 1, 2, 4()3, 6, 0(CDAB、) 1, 4, 2(MN或或由中点坐标公式，得点坐标为、NM、)2/5, 5, 1 (M)2/3, 1, 3(N于是.) 1, 4, 2(MN2.2. 解：解：设，由，)2cos,cos,(cose12coscoscos222有，即，所以02sincos2220)sin21 (cos22或（舍去） ，于是或2443) 1, 0, 0(e.)0,22,
