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1、第 六 章定 积 分 的 应 用1(3) (3) 求和，求和，(4) (4) 求极限，求极限，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n n个小窄个小窄曲边梯形，曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为则则(2)(2)计算计算的的近似值，近似值，而第而第i i个个(1)(1)把区间把区间 a a, ,b b 分成分成n n个长度为个长度为的小的小区间区间得得A A的近似值的近似值, ,得得A A的精确值的精确值回顾：回顾：面积表示为定积分的步骤：面积表示为定积分的步骤：a ab b x xy yo o2ab xyo面积元素对对以上过程进行简化以上过程进行简化: :这种简化以后的定积分
2、方法叫这种简化以后的定积分方法叫“ “微元法微元法” ”或或“ “元素法元素法” ”的面积，的面积，则则取取面积元素面积元素记为记为则则若用若用表示任一小区间表示任一小区间上的窄曲边梯形上的窄曲边梯形3表示为1) 所求量 U 是与区间a , b上有定义的f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义:一个整体量 ;一、定积分的元素法元素法1.什么问题可以用定积分（元素法）解决 ?4元素的几何形状常取为: 条,带,段,环,扇,片,壳等第一步，根据具体情况， 选取积分变量，如：如：x. x.确定x的变化区间a,b.第二步，
3、把区间a,b分成n个小区间， 取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的称为量U的微元.第三步，写出定积分的表达式：近似表达式先作图先作图2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：这个方法通常叫做元素法53.使用元素法时应注意：使用元素法时应注意： (1)(1)U U是与一个变量是与一个变量x x的的变化区间变化区间 a,ba,b 有关的量有关的量. .(2)(2)U U对于区间对于区间 a,ba,b 具有可加性，具有可加性，则则U U相应地分成许多相应地分成许多即即如果把区间如果把区间 a a, ,b b 分成许多部分区间，分成许多部分区间，部分量，部分量， 而而U U等于所有部分量之和等于
4、所有部分量之和. .则则U U在在 a a, ,b b 上的值可由定积分上的值可由定积分示为示为(3) (3) 在在 a a, ,b b 中任取的小区间中任取的小区间上的部分量上的部分量与区间长度与区间长度可以通过可以通过x x的某函数的某函数乘积近似表乘积近似表来计算来计算. .6二、定积分在几何学上的应用 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算（1）设曲线与直线 及 x 轴所围曲 则边梯形面积为 A ,(2)(2)由曲线由曲线 所围所围图形的面积图形的面积. .其其面积元素为：面积元素为： 则则面积为面积为上曲线上曲线下曲线下曲线 7(3)(3)为曲边，为曲边，以以以以 c c, ,d d
5、为底的曲边梯形为底的曲边梯形(4)(4)由曲线由曲线所围所围图形的面积图形的面积. .其其面积元素为：面积元素为：则则面积为面积为右曲线右曲线左曲线左曲线xoycdxyocd y+dy yy+dyy的面积的面积A.A.8总之总之oxyx x+dxx+dxx在在 a,ba,b 上有正有上有正有负时，负时，时，时，时，时，设曲线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A ,则（5）9回顾：极坐标系回顾：极坐标系1) 1) 极坐标系的定义：极坐标系的定义： 在平面上取定一点在平面上取定一点o o，叫做叫做极点极点. . 从极点出发引一条射线从极点出发引一条射线OxOx, ,叫叫极轴极轴，并取定一个并取定一个长
6、度单位长度单位和计算角度的和计算角度的正方向正方向( (通常取通常取逆时针方向作正方向逆时针方向作正方向), ),这样这样就建立了一个就建立了一个平面极坐标系平面极坐标系. .x x1 1 2 2 3 3 4 4o o. .2) 2) 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化xoyyx10过点过点MM( (a a,0),0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程 过极点且倾角为过极点且倾角为的射线的极坐标方程为的射线的极坐标方程为xoyxo.M by极坐标与直角坐标的极坐标与直角坐标的关系关系: :轴的直线方程为轴的直线方程为过点过点MM 且平行于极且平行于极3) 3
7、) 几个常用曲线的极坐标方程几个常用曲线的极坐标方程xoyMM( (a a,0),0)11xory圆极坐标方程圆极坐标方程oxy2aoxy2a圆极坐标方程圆极坐标方程圆极坐标方程圆极坐标方程122. 极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为133.已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x x 轴的截面面积为轴的截面面积为A A( (x x), ), 则在小区间则在小区间的体积元素为的体积元素为立体体积为：立体体积为：上连续上连续, ,xA(x)
8、xaVb14曲边梯形 旋转一周围成的旋转体的体积为：曲边梯形绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：4. 4.旋转体的体积旋转体的体积15abf (x)yx0曲边梯形 y= f (x) ，xdxx=a,x=b,y=0 绕 y 轴生成的旋转的体积.u求旋转体体积 柱壳法16xabyx0内表面积.dxdV= 2 x f (x)dxf (x)曲边梯形 y= f (x) ， x=a,x=b,y=0旋转的体积.u求旋转体体积 柱壳法绕 y 轴生成的17oyx围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积.所以：由连续曲线直线x=a、 x=b(ab) 及x轴所类似地， 如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成
9、的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体的体积.xyocd y+dy y185. 弧长 ( (数数1 1、数、数2)2)yxoab（2 2）参数方程参数方程（3 3）极坐标方程）极坐标方程注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小196.旋转体的侧面积设平面光滑曲线求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .积分后得旋转体的侧面积取侧面积元素: ( (数数1 1、数、数2)2)20y+dyyoyxdcoyxX X型型Y Y型型请熟记以下公式：请熟记以下公式：21注意： 1) 以上公式都要求2) 复杂图形应学会分割.3) 不能用公式时应会元素法.4)4)若曲边梯形的曲边为参数方程若曲边梯形的曲边为
10、参数方程则上述公式可以用定积分的换元法处理则上述公式可以用定积分的换元法处理. .5)5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程若曲边梯形的曲边为极坐标方程则可转化为直角坐标系下的参数方程：则可转化为直角坐标系下的参数方程：6)6)与弧长有关时，其限应与弧长有关时，其限应 上大下小上大下小. .22解:典型例题分析23解:24xyoAB解:依题意有25例4. 计算抛物线与直线一周而成的旋转体的体积 . 所围图形解: 如图绕 x 轴旋转26所围图形绕 旋转而成的 旋转体的体积. 分析：无公式可用，用元素法.如图例5. 求由 及 解法1：选择 y 作积分变量 ,解法2：选择 x 作积分变量27思考：过坐标原
11、点作曲线轴围成平面图形D. (1) 求 D 的面积; (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 .解: (1) 设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此故切线方程为D 的面积为1(2003考研)28(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 .(2) 切线、x 轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为得旋转体体积为129解:30解:31解:32解:33（1）求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .（2） 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y
12、轴旋转而成的立体体积 .（3） 计算摆线的一拱的长度.练习题：34说明: 用柱壳法求 较好柱壳体积柱面面积35证证: :设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于设椭圆的弧长等于设椭圆的弧长等于例例7. 7. 证明正弦线证明正弦线的弧长等于的弧长等于椭圆椭圆的周长的周长. .故原结论成立故原结论成立. .36例8.试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下 求体积 :解:方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .方法2 用柱壳法37求侧面积 :解：如图例9. 求由 绕 y 轴旋转立体的体积.而成的所围图形38例10. 设在 x0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体
13、积 ,证明:证: 利用柱壳法则故39设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为1.若选 y 为积分变量, 则 备用题：402. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解： 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 41回顾： 变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为二、定积分在物理上的应用4201x解 设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例1 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相 等，问第 二 次锤击时又将铁钉击入多少？hxx+dx设二次击入的总深度为 厘米依题意知:第 二 次击入的深度为P287P287第五题第五题43例2. 设有一长度为 l, 线密度为(x) 的细直棒,求该棒的质量m及平均密度.解: 建立坐标系如图. 细棒上小段对应的质量微元为平均密度为：谢 谢 大 家！再见44
