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1、用心 爱心 专心- 1 -高中数学第十章高中数学第十章- -排列组合二项定理排列组合二项定理考试内容：考试内容： 分类计数原理与分步计数原理 排列排列数公式 组合组合数公式组合数的两个性质 二项式定理二项展开式的性质 考试要求：考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应 用问题 （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问 题 （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决 一些简单的应用问题 （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的 问题 10.10. 排列组合二项定理排列
2、组合二项定理排列组合二项定理排列组合二项定理 知识要点知识要点知识要点知识要点 一、两个原理一、两个原理. . 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. 从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排 成一排，那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不 同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 mm m = mn. 例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列二、排列. . 1. 对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫
3、做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也 必须完全相同. 排列数. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号m nA表示. 排列数公式： ),()!(!) 1() 1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn 规定 0! = 1 11 1 m nm nm nm mm nm nmAACAAA 1 1 m nm nnAA 规定10n nnCC2. 含有可重元素的排列问题.用心 爱心 专心- 2 -对
4、含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,.an 其中限重复数为 n1、n2nk，且 n = n1+n2+nk , 则 S 的排列个数等于!.!21knnnnn . 例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数3! 2 ! 1 )!21 (n又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3! 3n. 三、组合三、组合. . 1. 组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：)!( ! !) 1() 1( mnmnCmmnnn AACm nm mm nm n两个公式：;mn nm nCC
5、m nm nm nCCC11 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n1 11m nCCC一类是不含红球的选法有m nC）根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对 于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以
6、有 C1m n，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 Cm n种，依分类原理有m nm nm nCCC11 . 排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排” ，后者是“并成一组” ，前者有顺序关系，后者无顺序 关系. 几个常用组合数公式nn nnnnCCC22101 11 11 121153142011 112 k nk nk nk nm nmm nmm mm mm nn nnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC常用的证明组合等式方法例.用心 爱心 专心- 3 -i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1
7、(! 43 ! 32 ! 21 nnn（利用!1 )!1(1 !1 nnnn）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m nm nm nCCC11 递推）如：4 133 53 43 3nnCCCCC.vi. 构造二项式. 如：n nn nnnCCCC222120)()()( 证明：这里构造二项式nnnxxx2)1 ()1 () 1(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(n nnnnn nn nnn nnn nnCCCCCCCCCCC，而右边n nC2四、排列、组合综合四、排列、组合综合. . 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型
8、： 直接法. 排除法. 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体 排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题” ，例如， 一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有m mmn mnAA 1 1个.其中1 1 mn mnA是一个“整体排列” ，而m mA则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为2 nA2 21 1AAn. 有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有2 21 1AAnn . 有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有1 12 n nnAA. 注：区别在于是确
9、定的座位，有2 2A种；而的商品地位相同，是从 n 件不 同商品任取的 2 个，有不确定性. 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档 中，此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m mnmn mnAA1 （插空法） ，当 n m+1m, 即 m 21n时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其 他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是
10、：先将 n 个元素进行全排列有n nA种，)(nmm个元素的全排列有m mA种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有m mn n AA种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法） （m+1） （m+2）n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）m mn nAA /.用心 爱心 专心- 4 -平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有k kn nn nkn kn ACCC)1( .例如：从 1，2，3，4 中
11、任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有3! 22 4C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（ ! 2/10 202 28 18 CCCP ）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有m mm mnmn mnAAA/1 ，当 n m+1 m, 即 m 21n时有意义. 隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如：124321xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球 排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插
12、入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,xxxx显然124321xxxx，故（4321,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),(4321yyyy，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数 等于插隔板的方法数3 11C. 注意：若为非负数解的 x 个数，即用naaa,.,21中ia等于1ix，有AaaaAxxxxnn1.11.21321，进而转化为求 a 的正整数解的个数为1 n nAC.定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，并
13、且都排在某 r 个指定位置则有rk rnr rAA .例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在 （或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：1 1 m nA；不在某一位置上：1 1 m nm nAA或1 11 11 m nmm nAAA（一类是不取出特殊元素 a，有m nA1，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从 n-1 个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的） 指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都包含在内 。先 C 后 A 策略
14、，排列k krk rnr rACC ；组合rk rnr rCC .ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列k kk rnAC；组合k rnC.x1x2x3x4用心 爱心 专心- 5 -iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定每个排列 （或组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列k ksk rns rACC ；组合sk rns rCC . II. 排列组合常见解题策略： 特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题 先选
15、后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列） ；正难 则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略； 不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的 策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. 均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r rAA/（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以k kA.例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为1575/2 24 44 82 10ACCC.若分成六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为4 42 22 22 42 62 81 91 10/AACCCCCC非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间 的顺序，其分法种数为m mAA 例：
