《高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社4（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3. 3. 分部积分法分部积分法设 u (x), v (x) 有连续导数，则两边取积分 ： 分部积分公式分部积分公式要求 ：如何选择 v ?例1 ：= ?一般一般 ：(1) v 要容易求出。v v ( (x x) ) 的的 e x ; 次选 ：sin x , cos x ；再次之 ：首选：x 等幂函数；不选 ：ln x .例例 题题 讨讨 论论例2 ：小结（一）小结（一） ：可降低x m 的幂次数。例3 ：例4 ：小结（二）小结（二） ：可使原来含超越函数的被积函数化为 代数函数的积分。例5 ：再生法例6 ：由再生法：例7 ：+a 2-a 2由再生法 ：本例还可用前面讲过的三角代换 令 x =
2、 a tan t同理 ：所以：小结（三）小结（三） ：经过几次分部积分后，又出现原来的积分 ，这时可移项合并求出积分。（再生法）求不定积分往往将换元、分部法结合 起来一起使用！下面再看一些例子。例1 ：解一 ：原式 =解二 ：原式 =x1t例2 ：解 ：原式 =例3 ： 解：原式 =例4：解：原式 =例5:解 ：原式 =例6:例7:解： 原式例8：已知 f (x)的原函数为解：请同学们自己看教材第请同学们自己看教材第209209页页 例例 9 9：递推公式 ：例9：课课 外外 作作 业业习 4 3（A ）2，3，5，8，10习 4 3（B）1（3，5，7，8，10，12，13），24. 4.
3、几类常见函数的积分法几类常见函数的积分法对有理函数、三角函数的有理式及简单 的无理函数的积分，仍有规律可循。 一、有理函数的积分 有理函数:由两个多项式的商所表示的函数。其中 m, n 都是正整数或零,系数 a i , b j 均为实数，R(x) 为多项式 (又称有理整函数) 有理真分式 有理假分式 =多项式+真分式性质 ：真分式总可分解成若干个最简分式 之和 部分分式之和。a) 若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即如 ：AB比较系数b) 若 Q(x) 能分解若干个k重单因式，即如 ：比较系数 ：c) 若 Q(x) 含有二次质因式如 ： 比较系数 ：d ) 若 Q(x) 含有k次质因式从理论
4、上讲 ，任何有理函数的不定积分都存在 。有理函数的不定积分必定是有理 函数、对数函数或反正切函数。即任何有理函数的不定积分仍是 初等函数。求有理函数积分的方法：求有理函数积分的方法： (1) 把真分式拆成部分分式之和。(2) 化 假分式 = 多项式 + 真分式例1 ：+x-x(3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分：例2：+ x2 - x2+ x - x+ x - x例3：若令 e x = u ,x = ln u ,仍为有理式的 积分。特点 ：被积函数的分子的次数比分母低一次 ，所以分子放微分号后即与分母同次。(4) 利用被积函数自身特点 。例4 ：且 d (x2 + x + 3) = (2x
5、 + 1)d x解：课课 外外 作作 业业习 4 4 (A)1（1，3），2（2，3 ，8）习 4 4 (B)1（1，3）二、二、 可化为有理函数的积分举例可化为有理函数的积分举例三角函数有理式： 指由三角函数和常数经过有限次四则如 ：总可通过适当变换 ，化成有理函数的积分。运算所构成的函数。记成 万能变换万能变换化为 u 的有理函数的积分。例 ：万能变换并不是最简捷的方法， 万不得已而用之。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换 。另外：若总之解题要灵活。例1 ：例2：例3：( 分子分母同乘 1 - sin x )若为简单无理函数的积分简单无理函数的积分1.常利用根式代换，令 2. ( l
6、为 m , n 的最小公倍数 )例 ：3.配方化为形如：的不定积分。再作三角代换或倒变换即可 。 4.例：解 ：(1- )+还可利用恒等变形进行积分：例：抽象函数的积分抽象函数的积分F(x) 是 f (x) 的原函数。例1：已知 f (x) 的一个原函数是解 ：例2：解 ：-则 f ( x )例3：解： 原式 = 对不定积分的说明：对不定积分的说明：1. 初等函数在其定义域上的原函数必存在； 但这些原函数不都是初等函数。 以下初等函数的原函数不是初等函数：2. 如果 f (x) 的原函数是初等函数，则说能表示成有限形式，否则说不能表示成有限形式。课课 外外 作作 业业习 4 4 (A)1（5，6，8，9）， 2（6，12，14，16）习 4 4 (B)1（4，8，9）， 2（1，2，5，7，8，10，11 ）
