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1、平行四边形平行四边形 平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。 一一.重点重点: 平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。 二二.知识要点知识要点: (一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。 1.由定义知平行四边形的对边平行。 2.两组对边分别相等； 3.两组对角分别相等； 4.对角线互相平分； 5.平行四边形是中心对称图形。 (三)平行四边形的判定
2、。 1.利用定义判定。 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三三.例题例题: (一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:“两组“,“互相“,“平行且相等“等等,并会举反例否定一个命题。 例例 1. 判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可) 1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 如图,四边形 ABCD 中,ABCD, A=C, A+D=180, B
3、+C=180, B=D, 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。 此命题正确。 2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 此命题不正确。 反例：ABCD,AD=BC, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。 3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 是错误的。 反例：如图, ABCD,A+C=180, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。 4.一组对边平行,一组邻角相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 是错误的。 反例：如图,ABCD,A=D=90, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。 5.四条边都
4、相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分析:正确。 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“即可证明。 6.两组邻边相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 是错误的。 反例：如图,AB=BC,AD=DC,但 ADAB, 四边形 ABCD 不是平行四边形。 7.两组邻角互补的四边形是平行四边形。 ( ) 分析: 是错误的。 反例：如图,A+D=180,B+C=180, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。 8.各组邻角互补的四边形是平行四边形。 ( ) 分析:正确。由各组邻角互补,可得两组对边分别平行,由定义知是平行四边形。 9.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形。 ( ) 分
5、析:是错误的。 反例.作ABC,使 AB=AC, 在 BC 上取一点 E 使得 BEEC,当AED=EAC 且 ED=AC 时, 可证AECEAD(SAS),可得D=C,从而有D=B,DE=AB, 但 BEAD,四边形 ABED 不是平行四边形。 10.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。 ( ) 分析:是错误的。 反例,如图,AO=CO,但 BODO, 四边形 ABCD 不是平行四边形。 (二)对四边形的问题，经常要转化为三角形的问题来解决,平行四边形也不例外。 例例 2.填空题: 1. 平行四边形 ABCD 中,ABAC,B=60,AC=2,则平行四边形 ABCD 的周长是_。
6、 分析:按照题意正确画出图形。关键是要求出 AB 和 BC 的长,RtABC 中,B=60, 所以ACB=30, AB=BC,由勾股定理得 AB2+AC2=BC2,又知 AC=2, 有 AB2+(2)2=(2AB)2,可以求得 AB=2,BC=4, AB=CD,AD=BC, 平行四边形 ABCD 的周长为 12。 在这里我们用到了直角三角形的知识。 2.平行四边形的两边长为 3cm 和 6cm,夹角为 60,则平行四边形的面积为_cm。 分析:依题意画出图形, 平行四边形 ABCD 中, A=60,AD=3cm,AB=6cm,平行四边形的面积为其一边与这边上的高的积,因此我们作 DEAB 于
7、E,只需求出 DE 的长。RtADE 中, A=60, ADE=30, AE=AD=cm。 由勾股定理得 DE=(cm), 因此我们可以计算出平行四边形的面积=ABDE=6=9(cm2)。 在这里我们复习了平行四边形的面积的求法,并且利用了直角三角形的知识。 3.在平行四边形 ABCD 中,如果一边长 6cm,一条对角线长是 8cm,则另一条对角线 x 的取值范围是_。 分析:由于平行四边形的对角线互相平分,如图,在 平行四边形 ABCD 中,AC,BD 交于 O,如果 BC=6cm, AC=8cm, BD=x,则有 BO=, OC=AC=4cm, 在OBC 中 由于三角形两边之和大于第三边,
8、两边的差小于第三边,所以有 BC-OCOBBC+OC,即 2cm10cm, 4cmx20cm。 在这里我们用到了三角形三边之间的关系。 例例 3.已知：如图，AB/CD，AD=BC， 求证：OD=OC。 分析：要证明 OD=OC，根据图形特点，只需证D=C，证明角等的方法可以通过全等、等边、平行等得到。条件 AD=BC 的应用是本题的关键，所给的图形使此条件无法直接应用，需构造三角形或四边形，使其成为三角形或四边形中完整的边。 证明：过 B 作 EB/AD，交 CD 的延长线于 E AB/CD 四边形 ADEB 为平行四边形 AD=BE 又 AD=BC， BE=BC C=E EB/AD ADC
9、=E C=ADC， OD=OC 例例 4.已知：如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 中点，分别延长 BA、DC至 G、M，使 AG=CM， 求证：EM/GF。 分析：要证明 EM/GF，或是通过证明角等，或是证明 EM 与GF 所在的四边形是平行四边形，通过平行四边形的性质得到平行关系。图中给出了平行四边形 ABCD 的条件，也就意味着 EG 与 MF平行，只需证明 EG 与 MF 相等，即可得到四边形 EMFG 为平行四边形的结论。而找线段相等在此题中是较容易的。 证明：证明： ABCD 是平行四边形， AB/CD，AB=CD 又 E、F 分别为 AB、CD 的中点
10、AE=AB=CD=CF AG=CM AG+AE=CM+CF 即 EG=FM 在四边形 EMFG 中，EG/MF，EG=FM 四边形 EMFG 是平行四边形 EM/GF 例例 5. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，K、L、M、N 分别为 AB、BC、CD、AD 上的点，且满足 AK=CM，BL=DN， 求证：四边形 KLMN 为平行四边形。 分析：证明四边形是平行四边形的方法有很多，首先要明确证明的方向，根据题目所给的条件及图形特点发现，图形中角等的条件比较少，所以通过角等或对边平行可能会比较困难，通过两组对边分别相等应是此题的证明方向。 证明：证明： ABCD 是平行四边形， C=A，
11、AD=BC， 又 BL=DN， AD-DN=BC-BL，即 AN=CL AK=CM， ANKCLM， KN=ML， 同理：DMNBKL，MN=KL 四边形 KLMN 为平行四边形。 例例 6. 求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等 已知:如图：平行四边形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于 O，OEAB 于 E，OFCD 于F， 求证：OE=OF。 分析：显然是通过证明两个三角形全等得到此结论，但是垂线的构成是由对角线的交点向一组对边引的两条垂线，在没有证明 E、O、F 三点共线的情况下，切不可用对顶角相等作为全等三角形判定的条件
12、。 证明：证明： 平行四边形 ABCD， AO=CO， AB/CD CAB=ACD又 OEAB 于 E，OFCD 于 F AEO=OFC=90 在 AOE 和 COF 中 CAB=ACD AEO=OFC AO=CO AOECOF， OE=OF 例例 7. 已知：如图，E、F 分别为平行四边形 ABCD 中 AB、CD 的中点，EF 与 AC 交于点O，求证：AO=CO。 分析：证明线段相等的问题可以利用平行四边形的对角线的性质，但显然证明 AC、BD 交于 O 是涉及到三线共点的问题，是比较困难的。所以不妨仍旧通过三角形的全等来寻找相等的线段。 证明： ABCD 为平行四边形 AB=CD， A
13、B/CD 又 E、F 分别为 AB、CD 的中点 CF=AE AB/CD CAE=ACF AEF=EFC AOECOF， AO=CO。 例例 8. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在 AB、BC 上，且 EF/AC， 求证：AED 与 DCF 面积相等。 分析：证明三角形面积相等有几种常见的方法：（1）全等三角形面积相等（2）等底（同底）等高三角形面积相等。从图形中观察，AED 与 DCF 显然不全等。只有找等底等高，而相等的高往往通过平行线找到。AED 与 DCF 这两个三角形的底与高并无直线相等关系，这就需要借助于中间图形，构造面积相等的辅助三角形。 证明：连结 AF、
14、EC ABCD 为平行四边形， AB/CD，AED 与 AEC 等积 AD/BC DCF 与 AFC 等积 EF/AC AEC 与 AFC 等积 AED 与 DFC 等积。 例例 9如图，将ABCD 沿 AC 折叠，点 B 落在 B处，AB交 DC 于点 M求证：折叠后重合的部分（即 MAC）是等腰三角形 评析：该题是等腰三角形、轴对称图形、平行四边形性质的综合因为沿 AC 折叠，所以AC 所在直线是四边形 ABCB的对称轴，由轴对称的性质可以判定4=5根据平行四边形的性质：对边平行，易知3=4，所以3=5，可知 MA=MC， MAC 是等腰三角形得证另外证明ADMCBM，也可得到 MA=MC 证法 1： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC，D=B。 由题意得 BC=CB，B=B， AD=CB，D=B 又 1=2 ADMCBM， MA=MC 即MAC 是等腰三角形 证法 2： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，4=3 又ACB，ACB关于直线 AC 对称， 4=5， 3=5 MA=MC，即MAC 是等腰三角形
