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1、 从运动中考察系统平衡，建立理想约束模型，引入虚位移，由主动力在虚位移上的虚功关系，给出平衡条件；与达朗贝尔原理结合，构成分析动力学基础。理想约束力不出现，平衡条件必要且充分。第八章 虚位移原理与能量法1. 对可变系，平衡条件非充分2. 对物系，未知约束力多虚位移原理的优越:分析力学两个基本原理之一，分析静力学和分析动力学基础。几何静力学的局限8-1 约束与位形8-2 虚位移与虚位移原理8-3 虚功方程应用于刚体系统8-4 虚功方程应用于变形系统8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性第八章 虚位移原理与能量法第八章 虚位移原理与能量法8-1 约束与位形8-1-1 约束及其分类8-1-2 质点系
2、的位形第八章 虚位移原理与能量法8-1-1 约束及其分类约束条件的数学表达式。事先限制质点或质点系位置和运动的条件。1. 约束与约束方程 约束 :约束方程:8-1 约束与位形按约束方程不同分类。 (1)定常与非定常(稳定与非稳定) (2)双面与单面约束约束方程显含时间t，约束方程不显含时间t，约束方程为等式。约束方程为不等式。定常:非定常:双面:单面:2. 约束分类:8-1-1 约束及其分类8-1 约束与位形约束方程不包含质点速度，或包含速度但是可积分的约束，称为完整约束。约束方程包含质点速度且不可积分成完整约束的，称为非完整约束。 (3)完整与非完整约束8-1-1 约束及其分类积分后 ，为完
3、整约束。如如圆轮纯滚,约束方程为:8-1 约束与位形定常、 双面、 完整非定常、 单面、 非完整8-1 约束与位形8-1-1 约束及其分类8-1-2 质点系的位形1.自由度k设n个质点，受m个完整约束和l个非完整约束。k =3n-m-l空间刚体系 k =6n-s, s =m+l平面机构k =3n-sk=? k=2n-sk=3n-s=34-(25+1)=1k=35-(26+2)=1=23-5=1确定系统位置的独立参数数目。问题问题 1 1三种算法，结果相同。8-1 约束与位形完全确定系统位置的最少参数，可以是长度，角度，面积等。个数为。完整约束系统非完整约束系统滚动圆轮，滚动圆球，行驶自行车各有
4、几个自由度?2.广义坐标广义坐标相互独立；广义坐标相互不独立。问题问题 2 28-1 约束与位形8-1-2 质点系的位形定常双面 完整非定常单面非完整,广义坐标:,广义坐标:8-1 约束与位形8-1-2 质点系的位形例如可选 吗?广义坐标:均否! 不能完全确定系统位置!双摆:8-1 约束与位形8-1-2 质点系的位形n = 2 m = 1n = 2 m = 3n=1 l = 1确定下列系统自由度并选择广义坐标。8-1 约束与位形8-1-2 质点系的位形(1)直角坐标形式:3.质点系的位形描述(n个质点):(2)广义坐标形式:一个点与一个位形对应。利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足。维位
5、形空间:3n 个直角坐标，个最少参数，8-1 约束与位形8-1-2 质点系的位形8-2-1 虚位移8-2 虚位移与虚位移原理8-2-2 虚功与理想约束8-2-3 虚位移原理第八章 虚位移原理与能量法8-2-1 虚位移位置函数的微分。n个质点的完整约束系统，k自由度，选广义坐标1. 实位移一组实位移一组广义实位移8-2 虚位移与虚位移原理则质点在微小时间间隔内实际发生的位移,即 。(与受力、控制方程与初始条件相关)质点在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，即 。(与受力、控制方程与初始条件无关) 位置函数的变分。与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件无关的，不需经历时间的假想
6、的微小位移。一组广义虚位移2. 虚位移一组虚位移(具有独立性，选择性)8-2 虚位移与虚位移原理8-2-1 虚位移计算各点的虚位移，确定各虚位移的关系。常用几何法与解析法。3 .虚位移计算定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。(多种形式)8-2 虚位移与虚位移原理8-2-1 虚位移1. 1. 确定图示机构中A，B两点虚位移关系。用求实位移的方法，而实位移与速度成正比，故可用类似速度分析的方法确定各点的虚位移的关系。若给若给相反方向虚位移，结果如何?1)几何法:亦可8-2 虚位移与虚位移原理8-2-1 虚位移几何法直观，解析法易求。求变分:k1 选 为广义坐标2) 解析法:可见:8-2 虚位移
7、与虚位移原理8-2-1 虚位移2. 2. 求图示机构中，A,D两点虚位移关系。若设若设 反向， 方向如何?8-2 虚位移与虚位移原理8-2-1 虚位移2.理想约束8-2-2 虚功与理想约束虚位移具有假想性、任意性，与受力无关。作用力在虚位移上所作的功如如光滑面，光滑铰，刚性杆，不可伸长的柔索等。其约束力的虚功之和为零。满足1.虚功8-2 虚位移与虚位移原理8-2-3 虚位移原理独立于牛顿定律的又一基本原理， 不需证明。也不能证明(目前)。由虚位移原理可导出牛顿定律与刚体平衡条件。具有双面、 理想约束的质点系，在某一位形保 持静止平衡的充要条件是:作用于该质系的主动力在该位置的任何一组虚位移上所
8、作的虚功之和等于零，即 虚位移原理:虚功方程 或8-2 虚位移与虚位移原理 适用于任意约束质点系，包括刚体与变形体，但对变形体需计入内力虚功。 针对静止平衡系统。否则如下系统不满足。 平衡的充要条件。(几何静力学对变形体非充分)8-2 虚位移与虚位移原理8-2-3 虚位移原理1) 给定虚位移，求力的平衡关系；2) 给定主动力系，求平衡位置或位移；3) 求约束力与内力。本章针对刚体与简单变形体。 应用: 力状态与虚位移状态相互独立(无因果关系)8-2 虚位移与虚位移原理8-2-3 虚位移原理1.解题步骤:1) 给定系统虚位移或受力状态。首要条件:系统须可动(至少1个自由度);不可动时，解除部分约
9、束，代以相应的约束力，并视约束力为主动力，进行求解。3) 列虚功方程求解。2) 求各力作用点虚位移关系。8-3 虚功方程应用于刚体系统(刚体内力虚功为零)第八章 虚位移原理与能量法1. 1. 图示滑块连杆机构，已知OAr，力偶矩M，求平衡时力F与M之大小关系。第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统给OA ， 各点虚位移如图:(AB瞬时平移)(a)8-3 虚功方程应用于刚体系统将(a)式代入，得由第八章 虚位移原理与能量法单自由度系统，给定某点虚位移后，其它各点虚位移由约束确定。题型特点:已知虚位移，求主动力平衡关系。用几何法求虚位移关系:定常约束下，虚位移与速度关系相同。若给
10、相反方向虚位移，结果相同吗?第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统2. 2.图示机构中，杆长O1A=O3C=O3D=l，套筒C可在O2C杆上滑动，图示位置O1A铅直，杆CD、AB水平，O2B=BC。求力F与力偶矩M的平衡关系。第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统(b)给虚位移如图(b)。由运动关系:又且而第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统由，有为所求。若给出相反方向虚位移，结果相同。套筒C虚位移由导出。(b)第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统3. 3. 如图所示，4根等长均质杆铰联悬挂于重力场中，每杆重量为G，长
11、为l，试求平衡时杆的水平倾角 与 之间的关系。 完整系统，k=2，两组对称杆重心竖向坐标分别为第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统(a)给对称虚位移:又 常数，故(b)由，得(c)将式(a)，(b)代入式(c)得第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统当主动力与坐标轴平行时，用解析法求虚位移关系较方便，应注意:a) y与 正方向一致; b) 定常约束下，变分运算与微分运算相同。 题型特点:已知主动力，求该系统平衡位置。系统自由度为2，约束允许图示对称虚位移。第八章 虚位移原理与能量法6根杆，2n根杆如何求?8-3 虚功方程应用于刚体系统惰钳机构由六根长杆和两
12、根短杆铰接，长杆长2a，短杆长a。顶部受力F的作用，试问下部力FQ的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角，且不计摩擦。4. 4.第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统取为广义坐标故若机构有2n根长杆，如何求解?第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统由5. 5. 求图示结构固定端C处的约束力偶矩。已知力偶矩M，力大小F1和F2， OAl，ABBC2a，BDDC，=30, =60, OAB=90解除C端转动约束，代以约束力偶MC，视为主动力。第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统代入虚位移关系，得由又给，则rB=2a rD=a第八章
13、 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统如何求FCx, FCy ?1. 1. 求FCx第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统2. 2. 求FCy 第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统若同时解除C端3个约束，如何求解?再思考:先解除一个约束，代以相应约束力，视该约束力为主动力。求静定结构约束力。题型特点:第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统1. 1.如何求图示结构中支座D的水平约束力?由WF = 0，有去D处水平连杆, 代FDx约束力。 给图示虚位移。如何求FDy ?而代入上式，得再思考:第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方
14、程应用于刚体系统2. 2.如何求图示多跨静定梁支座A处约束力?将支座A除去，代之相应的约束力FA 。第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统给图示虚位移:列虚功方程故因第八章 虚位移原理与能量法8-3 虚功方程应用于刚体系统如何求 和 大小?8-4 虚功方程应用于变形系统(内力虚功不为零)8-4-1 虚功方程用于变形体的形式卡氏定理与莫尔定理8-4-2 虚变形能的计算8-4-3 卡氏定理与莫尔定理第八章 虚位移原理与能量法虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零。8-4-1 虚功方程用于变形体的形式即 外力虚功等于虚变形能。这就是用于变形体的虚功方程形式。则有令 为变形体的虚变形能。式中 为外力虚功， 为内力虚功。质点系的虚功方程可写为8-4 虚功方程应用于变形系统图示变形体受约束无刚体位移，在力系 作用下，各力作用点位移为 ，在缓慢加载下，外力系作功转化为变形体的变形能。弹性变形能V 可表示为各外力的函数。8-4-2 虚变形能的计算弹性变形能 V 也可表示为各力作用点位移i的函数则则8-4 虚功方程应用于变形系统1. 卡氏定理给定图示虚位移a) 卡氏第一定理8-4-3 卡氏定理与莫尔定理变形体力学中的卡氏定理与莫尔定理等能量原理容易由用于
