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1、第五章 相似理论与 因次分析流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据,同时也是检验理论 的准绳,具有很重要的作用。本章将探讨其理论基础:相似理论 因次分析10.1 10.1 力学相似性原理力学相似性原理10.2 10.2 相似准数相似准数10.3 10.3 模型率模型率10.4 10.4 因次分析法因次分析法10.1 相似理论为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性,并从模型流动上预测 出实型流动的结果,就必须使两者在流 动上相似,即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系 。具体来说,两相似流动应几何相似 、运动相似、 动力相似 。两流动相似应满足 的条件一
2、几何相似(空间相似)定义: 两流动的对应边长成同一比例 ,对应角相等。引入尺度比例系数 进而,面积比例系数体积比例系数模型流动用下标 m表示原型流动用下标p 表示二 运动相似(时间相似)定义:两流动的对应点上的流体速度矢 成同一比例。引入速度比例系数 由于 因此运动相似建立在几何相似基础上,那 么 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理量的比例系数都可以表示为尺 度比例系数和时间比例系数的不同组合形 式。 如:kv=klkt-1 ka=klkt-2k=kt-1 k=kl2kt-1 kq=kl3kt-1 的单位是m2/sq的单位是m3/t三 动力相似(
3、受力相似)定义:两流动的对应部位上同名力矢成 同一比例。引入力比例系数 也可写成力学物理量的比例系数可以表示为密 度、 尺度、速度比例系数的不同组合形式,如 : 力矩M 压强p功率N 动力粘度综上所述,要使模型流动和原型流动 相 似,需要两者在时空相似的条件下受力相 似。动力相似(受力相似)用相似准则( 相 似准数)的形式来表示,即:要使模型流 动和原型流动动力相似,需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt表示时变惯性力和位变惯性力之比,反映了流体运动 随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl表示惯性力和重力之比,
4、反映了流体流动中重力所起 的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c表示弹性力和惯性力之比,c为声速,反映了流动的 压缩程度10.210.2相似准数相似准数描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程, 两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程,下面 是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程 在x方向上的分量形式:(1)(2) 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数,有 如下关系式:xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxp
5、kv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpktm=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf 将上述关系式带进方程(1)中,这时的方程应该和方 程(2)相同,因此得到(3)从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力 、 质量力、压力和摩擦力,(3)式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。用(3)中的位变惯性力项除全式,得到(4) (4)式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束,对各项进一步分析得到以下相 似准则综上所述,动力相似可以用相似准数表示,若原 型和模型流动动力相似,各同名相似准数均相等,如 果满足则称为完全的动力相似。但是事实上,不
6、是所 有的相似准数之间都是相容的,满足了甲,不一定就 能满足乙。如果所有的相似准数都相等,意味着各比 例系数均等于1,这实际上意味着模型流动和原型流 动各对应参数均相等,模型流动和原型流动就成为了 相等流动。因此,要使两者达到完全的动力相似,实 际上办不到,我们寻求的是主要动力相似。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解 决的原型流动的性质来决定,如对于重力起支配作用 的流动,选用Froude准数为主要相似准数(决定性相 似准数),满足Frm=Frp ,此外管道流动,流体机械中的流动 :Rem=Rep,Re数为决 定性相似准数非定常流动:Srm=Srp,Sr数为决定性相似准数可压缩流动:M
7、am=Map,Ma数为决定性相似准数总之,根据流动的性质来选取决定性相似准数决定性相似准数的定义: 对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否 满足了主要动力相似。只要满足了决定性相似准数相等后,就满足 了主要动力相似,抓住了解决问题的实质。 (注意:对于Eu准数而言,在其他相似准数作为 决定性相似准数满足相等时, Eu准数同时可 以满足)10.3 模型率1 模型流动设计设计模型流动,要使之成为原型流动的相似流动 ,原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似 。具体设计时,首先要考虑该流动性质选择决定性相 似准数,此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及 实验时所采用的流体是否与原型流动中的流
8、体相同且 是否同一温度等因素。 2 数据换算从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到 原型流动中去,需要用到数据换算。由模型流动中已 确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其 他一些比例系数,这样,原型流动中所要获得的数据 就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。例1 有一轿车,高h=1.5m,在公路上行驶,设计时速 v=108km/h,拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公 路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺 寸风洞(kl=2/3),并假定风洞试验段内气流温度与轿车 在公路上行驶时的温度相同,试求:风洞实验时,风洞 实验段内的气流速度应安排多大?解: 首先根据流动性
9、质确定决定性相似准数,这里选 取Re作为决定性相似准数,Rem=Rep,即kvkl/k=1, 再根据决定型相似准数相等,确定几个比例系数的相互 约束关系,这里k=1,所以 kv=kl-1,由于kl=lm/lp=2/3 ,那么kv=vm/vp=1/kl=3/2最后得到风洞实验段内的气流速度应该是vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s例2 在例1中,通过风洞模型实验,获得模型轿车在 风洞实验段中的风速为45m/s时,空气阻力为1000N, 问:此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时,所受 的空气阻力有多大?解:在设计模型时,定下k=1 kl=2/3 kv=3/2在相同的流体和
10、相同的温度时,流体密度比例系 数k=1,那么力比例系数kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1因此,该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇 到的空气阻力Fp=Fm/kF=1000/1=1000N10.4 因次分析法一 因次分析的基本概念二 因次和谐性原理三 布金汉(Buckingham)定理 一 因次分析的基本概念1 因次是物理量的单位种类,又称量刚,如长度、宽度、 高 度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位 来度量,但它们属于同一单位,即属于同一单位量纲 (长度量纲),用L表示。 2 基本因次 导出因次基本因次是具有独立性的因次,在流体力学领域中 有 三个基
11、本因次:长度因次L 时间因次T 质量因次M导出因次由基本因次组合表示,如加速度的因次 a=LT-2 力的因次 F=ma=MLT-2任何物理量B的因次可写成B=MLT用 表示物理量的 量纲,用( )表 示物理量的单位3 基本量 导出量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量(基 本 量)和其他物理量(导出量),后者可由前者通过某种 关系到除,前者互为独立的物理量。基本量个数取基本 因次个数,所取定的基本量必须包括三个基本因 次在内, 这就是选取基本量的原则。如、v 、l可以构成一组基本量,包含了L 、M 、T 这三个基本量纲,而a 、v 、l就不能构成基本量,因为 不 包含基本因次M4 无因次量
12、指该物理量的因次为1,用L0M0T0表示,实际是一个数,但与单纯的数不一样,它是几个物理量组合而成的 综合物理量,如前面讲过的相似准数二 因次和谐性原理因次和谐性原理又被称为因次一致性原理,也叫因次齐次性原理,指一个物理现象或一个物理过程用一个物 理方程表示时,方程中每项的因次应该是和谐的、一致 的、齐次的。一个正确的物理方程,式中的每项的因次应该一样 , 以能量方程为例方程左边各项的因次从左到右依次为 、 三 布金汉(Buckingham)定理 对于某个物理现象或过程,如果存在有n个变量互为 函数关系, f(a1,a2, an)=0而这些变量含有m个基本因次,可把这n个变量转换成为 有(n-
13、m)=i个无因次量的函数关系式 F(1,2, n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的因次关系,并把方程 中的变量数减少了m个,更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。例 经初步分析知道,在水平等直径圆管道内流体流 动的压降p与下列因素有关:管径d、管长l、管壁粗 糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ,以及断 面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式 。解: 所求解问题的原隐函数关系式为f(p, d, l, , , , v)=0有量纲的物理量个数n=7,此问题的基本量纲有L、M 、T三个,m=3,按定理,这n个变量转换成有n- m=4个无量纲量的函数关系式F(1, 2, 3,
14、4)=0从7个物理量中选出基本物理量3个,如取、d、v, 而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4 将上述表达式写成量纲形式 1=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T (1 ) 2=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 (2 ) 3=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 (3 ) 4=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0 (4 ) 求解方程(1) M: 1=0T: 1=0L: -3 1+ 1+1+1=0 1= -1 所以 1=l/d 求解方程(2) M: 2=0T: 2=0L: 1-3 2+ 2+2=0 2= -1 所以 2= /d求解方程(3) M: 1+3=0 3= -1T: -1-3=0 3= -1L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程(4) M: 1+4=0 4= -1T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0 所以 4= p / v2 因此,所解问题用无量纲数表示的方程为F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0至此,问题求解结束,进一步对上式整理规范。由