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1、第五章 相似理论与 因次分析流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据，同时也是检验理论 的准绳，具有很重要的作用。本章将探讨其理论基础：相似理论 因次分析10.1 10.1 力学相似性原理力学相似性原理10.2 10.2 相似准数相似准数10.3 10.3 模型率模型率10.4 10.4 因次分析法因次分析法10.1 相似理论为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性，并从模型流动上预测 出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系 。具体来说，两相似流动应几何相似 、运动相似、 动力相似 。两流动相似应满足 的条件一
2、几何相似（空间相似）定义： 两流动的对应边长成同一比例 ，对应角相等。引入尺度比例系数 进而，面积比例系数体积比例系数模型流动用下标 m表示原型流动用下标p 表示二 运动相似（时间相似）定义：两流动的对应点上的流体速度矢 成同一比例。引入速度比例系数 由于 因此运动相似建立在几何相似基础上，那 么 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理量的比例系数都可以表示为尺 度比例系数和时间比例系数的不同组合形 式。 如：kv=klkt-1 ka=klkt-2k=kt-1 k=kl2kt-1 kq=kl3kt-1 的单位是m2/sq的单位是m3/t三 动力相似（
3、受力相似）定义：两流动的对应部位上同名力矢成 同一比例。引入力比例系数 也可写成力学物理量的比例系数可以表示为密 度、 尺度、速度比例系数的不同组合形式，如 ： 力矩M 压强p功率N 动力粘度综上所述，要使模型流动和原型流动 相 似，需要两者在时空相似的条件下受力相 似。动力相似（受力相似）用相似准则（ 相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动 随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl表示惯性力和重力之比，
4、反映了流体流动中重力所起 的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的 压缩程度10.210.2相似准数相似准数描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程， 两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面 是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程 在x方向上的分量形式:(1)(2) 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有 如下关系式：xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxp
5、kv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpktm=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf 将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方 程（2）相同，因此得到（3）从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力 、 质量力、压力和摩擦力，（3）式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。用（3）中的位变惯性力项除全式，得到（4） （4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相 似准则综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原 型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如 果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不
6、是所 有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就 能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比 例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流 动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了 相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实 际上办不到，我们寻求的是主要动力相似。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解 决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用 的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相 似准数），满足Frm=Frp ，此外管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决 定性相似准数非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决定性相似准数可压缩流动：M
7、am=Map，Ma数为决定性相似准数总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数决定性相似准数的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否 满足了主要动力相似。只要满足了决定性相似准数相等后，就满足 了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准数作为 决定性相似准数满足相等时， Eu准数同时可 以满足）10.3 模型率1 模型流动设计设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动 ，原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似 。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相 似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及 实验时所采用的流体是否与原型流动中的流
8、体相同且 是否同一温度等因素。 2 数据换算从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到 原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已 确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其 他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据 就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速 v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公 路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺 寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车 在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞 实验段内的气流速度应安排多大？解： 首先根据流动性
9、质确定决定性相似准数，这里选 取Re作为决定性相似准数，Rem=Rep，即kvkl/k=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互 约束关系，这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3 ，那么kv=vm/vp=1/kl=3/2最后得到风洞实验段内的气流速度应该是vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s例2 在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在 风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N， 问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受 的空气阻力有多大？解：在设计模型时，定下k=1 kl=2/3 kv=3/2在相同的流体和
10、相同的温度时，流体密度比例系 数k=1，那么力比例系数kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇 到的空气阻力Fp=Fm/kF=1000/1=1000N10.4 因次分析法一 因次分析的基本概念二 因次和谐性原理三 布金汉（Buckingham）定理 一 因次分析的基本概念1 因次是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、 高 度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位 来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲 （长度量纲），用L表示。 2 基本因次 导出因次基本因次是具有独立性的因次，在流体力学领域中 有 三个基
11、本因次：长度因次L 时间因次T 质量因次M导出因次由基本因次组合表示，如加速度的因次 a=LT-2 力的因次 F=ma=MLT-2任何物理量B的因次可写成B=MLT用 表示物理量的 量纲，用（ ）表 示物理量的单位3 基本量 导出量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基 本 量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种 关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本 因次个数，所取定的基本量必须包括三个基本因 次在内， 这就是选取基本量的原则。如、v 、l可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T 这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因为 不 包含基本因次M4 无因次量
12、指该物理量的因次为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的 综合物理量，如前面讲过的相似准数二 因次和谐性原理因次和谐性原理又被称为因次一致性原理，也叫因次齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物 理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致 的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样 ， 以能量方程为例方程左边各项的因次从左到右依次为 、 三 布金汉（Buckingham）定理 对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为 函数关系， f(a1,a2, an)=0而这些变量含有m个基本因次，可把这n个变量转换成为 有(n-
13、m)=i个无因次量的函数关系式 F(1,2, n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程 中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流 动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗 糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断 面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式 。解： 所求解问题的原隐函数关系式为f(p, d, l, , , , v)=0有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n- m=4个无量纲量的函数关系式F(1, 2, 3,
14、4)=0从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v， 而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4 将上述表达式写成量纲形式 1=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1 ） 2=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 （2 ） 3=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （3 ） 4=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0 (4 ） 求解方程（1） M: 1=0T: 1=0L: -3 1+ 1+1+1=0 1= -1 所以 1=l/d 求解方程（2） M: 2=0T: 2=0L: 1-3 2+ 2+2=0 2= -1 所以 2= /d求解方程（3） M: 1+3=0 3= -1T: -1-3=0 3= -1L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 4= -1T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由
