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1、已知:关于 x 的一元二次方程 mx2-(2m+n)x+m+n=0 (1)求证:方程有两个实数根; (2)求证:方程有一个实数根为 1; (3)设方程的另一个根为 x1,若 m+n=2,m 为正整数且方程有两个不相等的整数根 时,确定关于 x 的二次函数 y=mx2-(2m+n)x+m+n 的解析式; (4)在(3)的条件下,把 RtABC 放在坐标系内,其中CAB=90,点 A、B 的坐标 分别为(1,0) 、 (4,0) ,BC=5,将ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在抛物线上时,求ABC 平移的距离已知关于 x 的一元二次方程 4x2+mx+12m-4=0(1)求证:不论 m 为
2、何值,方程总有两个不相等的实数根(2)若方程的两个实数根为 x1和 x2,且满足 6x12+mx1+12m+2x22-8=0,求 m 的值如图,反比例函数 y=kx(k0)的图象经过点(-3,1) ,并与直线 y=-23x+m 交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,并且 x1、x2 满足 1x1+1x2+13=0(1)求反比例函数的解析式;(2)求 m 的值及AOB 的面积证明:(1)a=m,b=-(2m+n) ,c=m+n=b2-4ac=-(2m+n)2-4m(m+n) =4m2+4mn+n2-4m2-4mn =n2(1 分) 无论 n 取何值时,都有 n200 方程有两个实数根
3、(2 分)(2)原方程可化为:(mx-m-1) (x-1)=0, (3 分) x1=m+nm,x2=1; 方程有一个实数根为 1 (4 分) (3)由题意可知:方程的另一个根为 x1=m+nm,m+n=2,m 为正整数且方程有两个不相等的整数根, m=1, 二次函数的解析式:y=x2-3x+2 (5 分)(4)由题意可知:AB=3, 由勾股定理得:AC=4C 点的坐标为(1,4) 当ABC 沿 x 轴向右平移,此时设 C 点的坐标为(a,4) (6 分)C 在抛物线上, 4=a2-3a+2a2-3a-2=0 a=3172,舍去负值, a=3+172; ABC 平移的距离: 3+172-1=1+
4、172 (7 分)(2)解:方程的两个实数根为 x1 和 x2,x1+x2=- m4,x1x2= 12m-44, 6x21+mx1+12m+2x22-8=0, x12+x22=2, (x1+x2)2-2x1x2=2,m2-4m=0, 解得 m=0 或 4解:(1)把(-3,1)代入到 y=kx, 得:k=-31=-3, 反比例函数的解析式为 y=-3x; (2)反比例函数 y=-3x 与直线 y=-23x+m 交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点, -3x= -23x+m, 整理得:- 23x2+mx+3=0,x1+x2= 3m2,x1x2= -92, 1x1+1x2+13=0,整理得: x1+x2x1x2= -13, 即: 32m-92= -13, 解得 m=1, 直线的解析式为 y= -23x+1,A(3,-1) 、B( -32,2) , 直线 AB 与 y 轴交于(0,1) ,SAOB= 121(3+ 32)= 94 本题考查了反比例函数的综合知识,特别是与跟与系数的关系的结合更是一个难点