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1、 (习题课）8.11 多元函数的极限与连续的计算解 求元函数极限的常用的方法有：利用四则运算法则与连续性，由变 量代换化为一元函数求极限，利用初等变形，利用两边夹法则与无穷小性 质，等等.(1) 由多元初等函数的连续性，知(3) 化为能利用一元函数极限公式的形式（4）变形化为能利用一元函数极限公式的形式由夹逼准则，知1. 用一阶偏导数的定义及一元函数的求导公式8 . 12 一阶偏导数的计算解 函数z在点(0,0)的某个邻域内由两个式子表示，因此我们可根 据偏导数的定义来求本例所示的函数在（0，0）点不连续，但在（0，0）点的两个偏导数均在这和一元函数是不一样的.2. 复合函数求偏导数若z=f(
2、u,v)可微，u=(x,y),v=(x,y)都可微，则z=f(x,y), (x,y)也可微，且求复合函数偏导数时，一定要分析清楚复合结构，作出结构图，然后再求导便不易出错.zuvxyrzuvxxyyrrrufzyyufzxx3.因函数求导法若 z=f(x,y)由方程F(x,y,z)=0确定，则求 的常用方法有如下3种：(1) 公式法，将x,y,z 看作独立变量，使用公式(2) 将等式F（x,y,z)=0的两边同时对x,y求导（这时将x,y 看作独立变量，z 是x,y的函数），得到含 的两个方程，解方程便得到 .（3） 利用全微分的概念求解全微分等于偏微分的和。根据微分形式不变性，对于某个变量（
3、自变量或中间变量）的偏微分，等于对该变量的偏导数与该变量微分之和。这样在求函数的全微分时，可同时求出偏微分和偏导数，及若 df(x,y)=(x,y)dx+(x,y)dy,则方法二 方程两边对x求偏导，得方法三 利用微分形式不变性解 令F(x,y,z)=(cx-az,cy-bz) u=cx-az v=cy-bz解法2 两边同时对x及y求偏导，得解得对于方程组所确定的隐函数的求导，有时可先求函数关系，然后求导；有时对方程的两边分别同时对某变量求导，然后解方程组求得偏导数。注意：明确哪些是自 变量，哪些是因量， 是几元的解方法2 对两边微分，得解以du,dv为未知数的 方程组，得解以 为未知数的方程
4、组，得注意：明确哪些 是自变量，哪些 是因变量，是几 元的例 11 设 z=f(u,v,x,y),而u,v是由方程组 F(u,v,x,y)=0,G(u,v,x,y)=0确定的x,y的函数。假定f,F,G 关于其全部边元都有连续的偏导数，且解 对方程组两边分别对x,y求偏导，得 解此二方程组，得将上述所求的四个偏导代入上面两个式子即得8.13 高阶偏导数的计算1. 復合函数的高阶偏导数.求復合函数的高阶偏导数时，要分清復合结构，按结构图顺序求一阶导，二阶导；求f(x,y)二阶偏导时，要注意 仍然是x,y的函数，等等.例 12 设 u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二阶偏导数的函数，求ux
5、xyyzz例 13 求下列各函数的偏导数例14 设z=f(x,u,v)和 v=v(x,y,u),u=u(x,y)皆具有连续二阶偏数，zxuvx y xy uxy2.因函数的高阶偏导数证明8.14 全导数的计算全导数的计算方法大致有如下三种：1.利用复合函数求导公式；2.利用因函数求导公式；3.先求全微分，后求全导数.例 17 设函数u=u(x)由方程组u=f(x,y,z) ,g(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0 定义，其中f,g,h满足一切所需要的条件，求由(2),(3)可解得例 18 设y=f(x,t),而 t是由方程F(x,y,t)=0所确 定的x,y的函数 f,F满足一切需要的条
6、件，求解 将 y=f(x,t)及F(x,y,t)=0 对x 求导 从 （2）中 解出 ,代入(1),得另解法设 t由方程 F(x,y,t)=0所确定的x,y 的函数为 t=t(x,y)将它代入 y=f(x,t) ,得 y=fx,t(x,y) （1） (一元函数的因函数式）对(1)两边对x求导数，得但 t=t(x,y) 是由F(x,y,t)=0 所确定的， 所以（A）(B)代入(B) 式 即可得（A)式.(t=t(x,y), y=y(x) )例 198.15 偏导数的应用1. 几何应用例19 求曲面 上平行于平面 x-y+2z=0的切平面方程 。2. 条件极值例 20抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求坐标原点 与这个椭圆上点的连线的最长和最短长度。解 M(x,y,z)为椭圆上的任一点，它与原点的连线之长
