2012年数学建模b—太阳能小屋

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1、20122012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其 他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在 正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞

2、赛组委会，可将我们的论文以任何形式进 行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式 发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： J1315 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20122012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛

3、区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1太阳能小屋的设计摘要本文研究的是太阳能小屋的设计问题,分别以太阳能小屋的光伏电池的贴附 式安装方式与架空式安装方式，及太阳能小屋为研究对象，运用数学和物理学 的相关知识，建立优化模型，利用 LINGO 软件得出一些必要的结果，并对所求 问题进一步进行分析和求解. 首先，我们根据附件的信息，建立以“总费用-发电量”为最小的目标函数， 以所需总的光伏电池费用的等量关系、总的逆变器费用的等量关系、总发电量 的关系、电池接收太阳光照的阈值限制，以及铺设面积和

4、选配容量之间的相互 束缚为约束条件，从而建立最优化模型MIN 61im21QMMA其次，对于问题 1，我们利用所建立模型并带入已知相关的数据，利用 LINGO 软件得到太阳能小屋所需的光伏电池的类型及相应的数目和逆变器的类型及相 应数目，再通过光伏电池与逆变器的匹配关系确定了较佳的贴附安装方式和相 应的匹配关系，并求得小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量为 882107.1W， 经济效益为 19797.85 元，投资回收年限为 19 年.接下来，对于问题 2，我们对 题目中附件 3 的数据进行了整理，得出在 14 点，无论是太阳光的水平总辐射、 水平散射和法向直射都是最大的，利用 MATL

5、AB 解方程得到 14 点对应的太阳高度角,电池板的朝向也随之确定。还需要确定电池板的倾角，让电池13.47板与太阳法向直射面重合，得到屋顶较大斜面的倾角，利用原有的优25.32化模型，我们同问题 1 得出了小屋最佳设计方案.最后，对于问题 3，我们通过 对问题 1、2 的求解，可以有一个初步的结论：当房顶是斜面时， 其受光的有 效面积永远都会小于电池板所组成的面积，因此，我们在设计新型小屋时，让 屋顶的变为平面状，其四周的同问题 1、2 一样设计方式.从而得到发电总量为 25463670.09W，经济效益为 12731.84 元，投资能回收年限为 16 年的新型太阳 能小屋. 综上所述，我们

6、可以得出小屋的设计方案是利用目标规划的方法来解决小 屋的设计问题.同时根据题目中的要求，我们设计出了适合的太阳能小屋.关键字：太阳能小屋 光伏电池 最优化 有效面积2一、 问题重述1.1 问题背景在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池， 光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使 用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且 每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线 入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及 方式（贴附或架空）等.因此，在太阳能小屋的设计中，

7、研究光伏电池在小屋外 表面的优化铺设是很重要的问题. 1.2 问题要求 首先需要分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能 光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电 池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元/kWh 计算） 及投资的回收年限.在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电 池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池 组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表.在同一表面采用两种或两种以上类型 的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。 在不同表面上，即使是

8、相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组 连接方式及逆变器的选配. 1.3 问题提出 （1）.根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电 池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选 配相应的逆变器的容量和数量. （2）.电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，需要选择架 空方式安装光伏电池，重新考虑问题 1. （3）.根据题目给出的小屋建筑要求，为大同市重新设计一个小屋，要求 画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及 分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果.二、问题分析论文讨论的是太阳能小屋设计方案.首先以总

9、发电量最大，单位发电费用最 小为目的，为了使得求解简化，对目标进行了统一，即将以（总费用-发总电量） 为最小的目标函数，下来我们以光伏电池费用的等式关系和逆变器费用等式关 系、电池接受太阳光照的阈值限制，以及铺设面积和选配容量之间的束缚约束 为约束条件，最后建立以（总费用-发电量）为最小的最优化模型.下来我们对 每一问进行详细分析. 针对问题 1，根据山西省大同市气象信息，在仅考虑贴附安装方式时，给 出铺设方案，为使小屋全年太阳能光伏电池发电总量尽可能大，而单位发电费 用尽可能小，首先，我们以（总费用-发总电量）为最小的目标函数,我们先分 析各个光伏电池的费用，再列出逆变器的费用，求取最大的发

10、电量，以此为目 标.在分析约束条件，建立优化模型，并得出所需要的结果，并进一步进行分析. 针对问题 2，我们对题目中的附件 3 的数据进行了整理（剔除辐射强度低3于的时间） ，从所整理的表中可以得出 14 点时，无论是水平总辐射、水2m/w平散射或是法向直射在全部时间上都是最大的，通过解方程可以得出 14 点的太 阳高度角，电池板的朝向也就随之确定了，下来在确定电池板的倾角，我们 让电池板与太阳法向直射面重合，根据一定的几何关系得出电池板的倾角，下 来我们再次利用原有的规划模型，我们同问题 1，得出小屋的最佳设计方案. 针对问题 3，我们首先将给出一个满足题目约束的一个小屋设计，下来我 们结合

11、问题 1、2 对小屋设计进行简单设计，最后的出适合的小屋.三、模型的假设1.忽略小屋的屋檐、挑雨棚的投影面积. 2.不考虑光伏式电池板的跟换和修理费用. 3.逆变器不影响电池板的采光，且不占用屋顶面积.四、符号说明符号符号解释1M组装光伏电池所用的总费用2M安装逆变器所用的总费用iQ第 i 面墙的光伏电池的发电量、1W2W3W分别表示安装单晶硅电池、多晶硅电池以及薄膜电池所用 的总的峰值功率iF第 i 面墙受到的光照强度iS第 I 面墙的有效铺设面积i第 i 号光伏电池将太阳能转化为电能的转化效率五、模型的建立本题研究的是如何安装太阳能小屋的贴附式安装光伏电池和太阳能小屋的 架空式安装，以及太

12、阳能小屋的设计问题.（其中问题 1、2、3 均用到了本次所 建立的基本模型，因此，在模型的建立我们只给出基本模型，在解决问题时用 到的其它小模型，在解题中直接给出 ）. 为使小屋全年太阳能光伏电池发电总量尽可能大，而单位发电费用尽可能小，其中组装光伏电池所用的总费用、安装逆变器所用的总费用、以及1M2M总的光伏电池的发电量的相关表达式如下式：mQ4Min (1) 61im21QMM从题目中的附件 3 组装光伏电池的总费用满足如下关系：(2)32118 . 45 .129 .14WWWM其中 、分别表示安装单晶硅电池、多晶硅电池以及薄膜电池所用的1W2W3W总的峰值功率（峰值功率=开路电压 短路

13、电流）.由峰值功率=开路电压 短路电流，得到 、的相应表达式:1W2W3W(3)1ii 161i1i1nU IW ）、（621i(4)2jj271j2j2nU IW ）、（721j(5)3kk3111k3k3nU IW ）、（1121k（单晶硅电池、多晶硅电池、薄膜电池你的开路电压分别为，对k32i 1UUUj、应对短路电流分别为，对应所选的数目分别为）.k3j2i 1III、3k2j1innn、安装逆变器所用的总费用为：(6)i181ii2k PM逆变器的选配容量光伏电池的选配容量得到：(7)3214WWWWi181ii4k HW（8） 总电量的相关表达式为：(m=1、2、3、4、5、6)

14、(9)mmmmSFQ 其中为太阳辐射的强度、为辐射到某一面的有效面积、为光伏的电mFmSm池,将光能转化为电能的转化率. 去掉门窗的面积，剩余六个面的面积均可求出，每面墙铺设的电池板总面积应满足：mS5(10)nmSS(表示每面墙的最大铺设面积，可以所给房屋算出)nSnS综上所述，我们建立最优化模型，以（总费用-发总电量）得到目标规划模型：目标函数： MIN: 61im21QMMA约束条件： 1121k721j18321i621nmSnUnUnUk8 . 45 .129 .14nm3kk3111k3k32jj271j2j21ii 161i1i1i181ii232113214mmmm、，、，、，

15、、其中SIWIWIWPMWWWMWWWWSFQ即，得到太阳能小屋的设计模型.六、模型的求解6.1 贴附式安装光伏电池在小屋外围的铺设与组件的分配 我们由题目中的附件 2 给出小屋侧面实际的长度，利用几何体图 1 计算各块的 面积.6图 1 小屋外观各段长度图 我们求得东立面、南立面、西立面、北立面、房顶朝南较大块、房顶朝北较小 块（其中各块面积=某一向的墙面面积-门窗面积）带入上图数字计算得表 1： 表 1 房屋四周及房顶分布面积数值表 面积符号 1S2S3S4S5S6S实际面积/2m24.2319.53238526.9840.7494.2660.82根据山西省大同市的气象数据，太阳光方向不同得到的辐射强度不同，将光照强度记为（其中 m=1、2、3、4、5、6 分别表示太阳能小屋外围东立面、南mF立面、西立面、北立面、房顶朝北较小块、房顶朝南较大块的太阳辐射强度） ，那样，记每一块的面积分别为（m