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1、圆锥曲线的综合问题 080625 一、考题选析：例 1、 （07 天津 22）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上22221(0)xyabab12FFA，的一点，原点到直线的距离为212AFFFO1AF11 3OF（）证明；2ab（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂12QQ，12OQOQO12QQOD足为，求点的轨迹方程DD（）证法一：由题设及，不妨设点，其中212AFFF1(0)Fc ，2( 0)F c，()A cy，由于点在椭圆上，有，即0y A22221cy ab222221aby ab解得，从而得到2bya2bA ca ，直线的方程为，整理得1AF2 ()2byxcac2220
2、b xacyb c由题设，原点到直线的距离为，即，O1AF11 3OF242234cb cba c 将代入上式并化简得，即222cab222ab2ab证法二：同证法一，得到点的坐标为A2bca ，过点作，垂足为，易知，故O1OBAFB1FBO12FF A211BOF A OFF A由椭圆定义得，又，122AFAFa11 3BOOF所以，22121 32F AF A F AaF A解得，而，得，即22aF A 22bF Aa22ba a2ab（）解法一：设点的坐标为D00()xy，AO1F2FBxy当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为00y 12ODQQ12QQ00x y12QQ，或，其中
3、，0 00 0()xyxxyy ykxm00xky 2 0 0 0xmyy点的坐标满足方程组111222()()Q xyQ xy，22222ykxmxyb ，将式代入式，得，2222()2xkxmb整理得，2222(12)4220kxkmxmb于是，1224 12kmxxk 212222 12mbx xk由式得22 12121212()()()y ykxm kxmk x xkm xxk22222 22 222242 121212mbkmmb kkkmmkkk由知将式和式代入得，12OQOQ12120x xy y22222322012mbb k k22232(1)mbk将代入上式，整理得2 00
4、 0 00xxkmyyy ，222 002 3xyb当时，直线的方程为，的坐标满足方程组00y 12QQ0xx111222()()Q xyQ xy，022222xxxyb ，所以，120xxx22 0 1 22 2bxy ，由知，即，12OQOQ12120x xy y22 20 0202bxx解得22 02 3xb这时，点的坐标仍满足D222 002 3xyb综上，点的轨迹方程为 D2222 3xyb解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，D00()xy，OD000y xx y12ODQQ垂足为，可知直线的方程为D12QQ22 0000x xy yxy记（显然） ，点的坐标满足方程组22 00
5、mxy0m 111222()()Q xyQ xy，0022222x xy ymxyb， 由式得 00y ymx x由式得 222222 00022y xy yy b将式代入式得22222 0002()2y xmx xy b整理得，222222 0000(2)4220xyxmx xmb y于是 222 0 1222 0022 2mb yx xxy由式得 00x xmy y由式得 222222 00022x xx yx b将式代入式得，22222 000()22my yx yx b整理得，222222 0000(2)220xyymy ymb x于是 222 0 1222 002 2mb xy yx
6、y由知将式和式代入得，12OQOQ12120x xy y222222 00 2222 0000222022mb ymb x xyxy2222 0032()0mbxy将代入上式，得22 00mxy222 002 3xyb所以，点的轨迹方程为D2222 3xyb例 2、 （06 重庆 22）已知一列椭圆：，若椭圆上nC122 2nbyx3 , 2 , 1, 10nbnC有一点使到右准线的距离是与的等差中项，其中分别是nPnPnld|nnFP|nnGPnnGF ,的左、右焦点。nC（）试证： ；nb23) 1( n（）取，并用表示的面积，nb232 nnASnnnGFP试证：且。21SS 1nnSS
7、)3( n图() 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有. 1, 2|2nnnnnndGPFPd故设则右准线方程为,12 nnbt.1xnexl因此，由题意应满足nd. 1111xn xede即，解之得： 12110111nnxe ee 即,121ne从而对任意.23, 1nbn（）设点及椭圆方程易知则出）的坐标为（1,nnnndfxP, 11nnex) 11(1)(1 ()1 (22222nnnnnccxby得两极，从而易知 f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内6131 21 6131 6131是减函数.现在由题设取是增数列.又易知,211211,2322cnnnbcnnbnnn则43 2
8、c.54 6131 nc故由前已证，知).3(121nSSSSnn，且例 3、 （05 山东 22） ）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。 （）,02p2px 0p 求动圆圆心的轨迹的方程；（）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线CBA，CO和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线OAOB, (0)恒过定点，并求出该定点的坐标。AB解：（I）如图，设为动圆圆心，记为，M,02pF过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：M2px N即动点到定点与定直线的MFMNMF2px 距离相等 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中M为焦点，为准线,02pF2px 轨迹方程为；22(0)ypx p（I
9、I）如图，设，由题意得（否则）且1122,A x yB xy12xx12,0x x 直线的斜率存在，设其方程为ABykxb显然22 12 12,22yyxxpp将与联立消去，得ykxb22(0)ypx Px2220kypypbyAxoB,02pFMN2px 由韦达定理知 121222,ppbyyyykk（1）当时，即时，22tantan1，12 1212 121,0yyx xy yxx22 12 12204y yy yp2 124y yp由知：224pbpk2.bpk因此直线的方程可表示为，即AB2ykxPk(2 )0k xPy直线恒过定点AB2 ,0p（2）当时，由，得=2tantan()t
10、antan 1tantan 12 2 122 () 4p yy y yp 将式代入上式整理化简可得：，则，2tan2p bpk22tanpbpk此时，直线的方程可表示为即ABykx22tanppk2(2 )0tanpk xpy直线恒过定点AB22 ,tanpp综上，由（1） （2）知，当时，直线恒过定点，当时直线2AB2 ,0p2恒过定点.AB22 ,tanpp例 4、 （05 北京 18）如图，直线：与直线：之间的阴影区域（不1l)0(kkxy2lkxy含边界）记为 W，其左半部分记为，右半部分记为。 （）分别用不等式组表示和1W2W1W；（）若区域中的动点到，的距离之积等于，求点的轨迹的方
11、2WW),(yxP1l2l2dPC程；（）设不过原点的直线 与（）中的曲线相交于两点，且与，分OlC21,MM1l2l别交于两点. 求证的重心与的重心重合。43,MM21MOM43MOM【答案】 【详解】 解：（I）12( , )|,0,( , )|,0.Wx ykxykx xWx ykxykx x （II）直线直线,由题意得1:0,lkxy2:0lkxy222| |., 11kxykxyd kk 即222 2 2|.1k xydk由知( , ),P x yW2220,k xy所以即222 2 2,1k xydk22222(1)0.k xykd所以动点 P 的轨迹方程为22222(1)0.k
12、xykd（III）当直线 与轴垂直时,可设直线 的方程为由于直线 、曲线 C 关于轴lxl(0).xa alx对称,且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以1l2lx1234,M MM M( ,0)a1234,OM MOM M的重心坐标都为,即它们的重心重合.2(,0)3a当直线 与轴不垂直时,设直线 的方程为lxl(0).ymxn n由,得22222(1)0k xykdymxn222222()20.kmxmnxnk d由直线 与曲线 C 有两个不同交点,可知,且l220kml1l2xy2222222(2)4() ()0.mnkmnk ddA设的坐标分别为12,M M1122( ,),(,).
13、x yxy则121212222,()2 .mnxxyym xxnkm设的坐标分别为34,MM3344(,),(,).xyxy由34,ykxykxnnxxymxnymxnkmkm 及得从而3412222.mnxxxxkm所以34341212()2()2,yym xxnm xxnyy所以343412120000,.3333xxyyxxyy于是的重心与的重心也重合.12OM M34OM M【名师指津】 本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数、数列、不等式、向量等综 合考查各种数学思想及方法。 二、考题精练： （一）选择题：1、 （06 安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为22ypx22 162xypA、 B、 C、 D、22442、 （06 江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和P22xy1916NM，4)5(22yx上的点，则的最大值为（ ）1)5(22yx|PNPM A、6 B、7 C、8 D、93、 （05 湖北）双曲线离心率为 2，有一个焦点与抛物线的焦)0( 122 mnny mxxy42点重合，则的值为（ ）mnA、B、C、D、163 83 316 384、 （05 天津）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则22 1259xy双曲线的渐近线的斜率为（ ）A、
