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1、高等工程数学 (64学时)-黄廷祝 编任课教师： 杨军 副教授(理学博士)高等数学教研室 第一章 矩阵分析基础1.1 向量与矩阵的范数1.2 矩阵的分解1.3 矩阵的特征值估计1.1 向量与矩阵的范数定义1 由mn个数排成的行列数表称为一个m行n列矩阵, 简称为mn矩阵, 其中aij表示第 i 行第 j 列处的元, i 称为aij的行标, j 称为aij的列标; 说明:(1) m1列向量即: ; 1n行向量即:(3) 通常用小写黑体字母 a,b,c 或者, 等表示向量; (2) 通常用大写黑体字母 或者 表示 矩阵. 如需指明矩阵的行数和列数, 通常用 或(4) 用符号 Rmn (Cmn)表示
2、实(复)数域上所有mn矩阵 的集合.例 利用矩阵和向量的定义, 线性方程组 (1.1.1)可以写成矩阵的形式:其中称为方程组的系数矩阵 而矩阵称为方程组的增广矩阵 (1) 正定性 |x| 0 , 当且仅当 x=0 时 |x| = 0 ;在求解线性方程组过程中, 经常要估计误差的大小, 判定算法的稳定性, 这就需要利用向量和矩阵的范数.向量范数是用来刻画向量大小的一种度量. 实数的绝 对值, 复数的模, 向量的长度, 都是抽象向量范数的原型. 定义2 若对于任意向量 x Cn 都有一个实数 |x| 与之 对应, 且满足(2) 齐次性 |kx| = |k|x| , kC;(3) 三角不等式 |x
3、+ y | |x| + |y|, x, y Cn ;则称映射 |x| 为向量 x 的向量范数. 条件(1)、(2)、(3)称为向量范数三公理.范数的性质:(1) 零向量的范数为0;(2) (3) x0 时, (4) | |x| - |y| | |x - y |结论 设 , 则都是Cn上的向量范数, 分别称为向量 x 的1-范数, 2-范数, -范数.,证 根据范数定义, 易证 |x|1, |x| 满足范数的三个条件, 所以是向量范数. 下面证明|x|2也是向量范数.正定性和齐次性显然, 下面证明满足三角不等 式. 设 即证在矩阵分析与计算过程中, 仅仅有向量范数还不够, 还 需要矩阵的范数.(
4、1) 正定性 | A | 0 , 当且仅当 A =0 时 | A | = 0 ;定义3 若对于任意矩阵 A Cmn 都有一个实数 |A| 与 之对应, 且满足(2) 齐次性 |k A | = |k| A | , k是常数 ;(3) 三角不等式 |A + B | |A| + |B|, A, B Cmn ;则称映射 |A| 为矩阵A的矩阵范数. 条件(1)、(2)、(3)称为 矩阵范数三公理.矩阵范数的性质:(1) 零矩阵的范数为0;(4) | |A| - |B| | |A - B |结论 设 A =(aij)Cmn , 则(2) (3) A0 时, 都是Cmn上的矩阵范数.注: 如果把A=(ai
5、j)Cmn看作Cmn中的一个向量, 则上面 的 三种矩阵范数, 可以认为是Cmn上的向量范数, 因此上面 关于向量范数的性质对矩阵范数也都成立, 证明方法类似 .定理1 Cmn上的矩阵范数都是等价的.定义 定义4 设任意矩阵ACmn, BCnl如果矩阵范数恒有不等式则称该矩阵范数是相容的.例3 证明矩阵范数 |.|m1 是相容的.证明 设 A =(aij)Cmn , B =(bij)Cnl , 则矩阵范数与向量范数的关联性定义5 设 |m 是 Cnn上的矩阵范数, |v 是 Cn上的向量范数 , 若对于任意的 ACnn 和 xCn 都有 则称矩阵范数 | |m 与向量范数 | |v 是相容的.
6、例4 求证Cnn上的矩阵范数| |m1 与Cn上的向量1-范数相容.证明 设 A =(aij)Cnn , , 则这说明矩阵范数| |m1与Cn上的向量1-范数相容.对于任一向量范数, 是否存在与该向量范数相容的 矩阵范数呢? 下面定理给出了肯定的答案.定理2 设 |x|v 是 Cn上的向量范数, ACnn , 则是与向量范数 |x|v 相容的矩阵范数, 称此范数为从属 于向量范数 |x|v 的算子范数.证明 首先证明|x|v 确实是矩阵范数.(1) 正定性. 设 A0, 则存在非零向量x0Cn , 使Ax00, 由向量范 数的定义知 |Ax0|v 0, |x0|v 0,于是 (2) 齐次性.
7、(3) 三角不等式. 即 |x|v 确实是矩阵范数. 下面证明相容性.由 , 知 , 故不等式 成立. 这就完成了定理的证明. 推论1 设 |x|v 是 Cn上的向量范数, A, BCnn , |A|v为从 属于 |x|v 的算子范数, 则它是相容的矩阵范数, 即 证明 根据定义不等式: |A|v为从属于 |x|v 的算子范数, 具有相容性, 故有: |ABx|v |A|v|Bx|v 几个特殊算子范数的计算公式 证明 根据定义, 一方面定理3 设A=(aij)Cmn, |A|1是从属于向量1-范数的算子 范数, 则称为矩阵的1-范数或列和范数.记 ，令则 , 取 , 故故因此, |A|1 是从
8、属于向量1-范数的算子范数. 于是故证明 根据定义, 则定理4 设A=(aij)Cmn, |A| 是从属于向量 -范数的算子 范数, 则称为矩阵的 -范数或行和范数.定义6 设ACnn的特征值为 , 则称为矩阵A的谱半径; 称 为A的谱.记 , 其中, , 则令 , 有 |z| =1, 同时有因此, |A| 是从属于向量 -范数的算子范数.复数 表示: w = rei = r(cos + isin)令定理5 设ACmn, |A|2是从属于向量2-范数的算子范 数, 则称为矩阵A的2-范数或谱范数.证明 因为AHA 为 n 阶Hermite矩阵, 同时因二次型是正定或半正定的. 因此AHA的所有
9、特征值都大于或等 于0, 不妨设这 n个特征值为AH : 以A 的元素的共轭 复数作为元素表示的转 置矩阵 . Hermite矩阵: 满足 AH =A 的矩阵A. 对应于欧氏空间的对称矩阵且xi 是属于特征值 的单位正交特征向量, 则对于任意单位向量 uCn 可以表示为故有故P20 Th9内积运算内积运算(*)即|A|2 是从属于向量2-范数的算子范数.矩阵的谱范数的基本性质.定理6 设ACnn, U 和 V是 n 阶酉矩阵, 则(1) (2) 酉矩阵: 对n 阶复矩阵 A, 若 A 满足AHA = A AH = E, 则称 A 为酉矩阵. 酉矩阵的行列式的绝对值为1. 正交矩阵是酉矩阵的特例
10、.(*)同时当 u=x1 时, 因为 , 且有 , 从而由(*)谱范数的酉不变性证明 (1) 设是AHA的非零特征值, 其对应的特征向量 为x, 即因此, , 从而 , 对以上等式两边同乘以矩阵 A, 得即也是AHA的非零特征值. 设1是 AHA与 AAH的最大特 征值, 则(2) 由(1)及上式有1.2 矩阵的分解一、三角分解定义1 设 n 阶矩阵 R=(rij)Cnn 是上三角矩阵, 如果 rii 0 (i = 1,2, ,n) , 则称矩阵 R 为正线上三角矩阵. 特 别当rii =1 (i = 1,2, ,n) 时, 则称 R 为单位上三角矩阵.定义2 设 n 阶矩阵 L=(lij)C
11、nn 是下三角矩阵, 如果 lii 0 (i = 1,2, ,n) , 则称矩阵 L 为正线下三角矩阵. 特别 当lii =1 (i = 1,2, ,n) 时, 则称 L 为单位下三角矩阵.2.两个上三角矩阵 、 的乘积 也是上三角矩阵,且对角元是 与 对角元之积;1.上三角矩阵R 的逆 也是上三角矩阵,且对角元是R 对角元的倒数;3.酉矩阵U 的逆 也是酉矩阵;4.两个酉矩阵之积 也是酉矩阵.其中 U1 是酉矩阵, R 是正线上三角矩阵; 或可唯一地分解为定理1 设A =(aij)Cnn是可逆矩阵, 则 A 可唯一地分解为(1.2.1)(1.2.2)其中 U2 是酉矩阵, L 是正线下三角矩
12、阵证明 略其中 Q1 是正交矩阵, R 是正线上三角实矩阵; 或可唯一地分解为推论1 设A =(aij)Rnn是可逆矩阵, 则 A 可唯一地分解为其中 Q2 是正交矩阵, L 是正线下三角实矩阵推论2 设A是实对称正定矩阵, 则存在唯一正线上三角 实矩阵R, 使得(1.2.9)因正交矩阵是实数域上的酉矩阵,故有:证* 因为A是实对称正定矩阵, 所以存在可逆矩阵P, 使得(1.2.10)由推论1可知, 存在正交矩阵Q和正线上三角实矩阵R, 使得(1.2.11)将式(1.2.11)带入式(1.2.10), 可得再证惟一性. 设 A 有两种分解式, 即R2T =(R1T R1) R2-1 =R1T
13、(R1 R2-1 )故 (R2 R1-1) T=(R1T )-1R2T=(R1T )-1 R1T (R1 R2-1 ) = R1 R2-1 由于上(下)三角矩阵的逆矩阵是上(下)三角矩阵, 两 个(下)上三角矩阵的乘积同样是上(下)三角矩阵, 因而上 式左端是下三角矩阵, 右端是上三角矩阵.因此, 是对角矩阵.又主对角线上元素是两个三角矩阵相应主对角线元 素之积, 注意到三角矩阵的逆矩阵的主对角线元素是原 矩阵主对角线元素的倒数, 由 均为正线上三角矩阵可知 , 即 推论3 设A是正定Hermite矩阵, 则存在唯一正线上三角 复矩阵R, 使得应用: n 阶矩阵的三角分解用于对求解非齐次线性方程 组非常方便. 例如, 设方程组 Ax=b , 有三角分解 A=LR, 则有LRx=b, 于是令 y=Rx, 有先求第一个方程组的未知向量 y, 然后将 y 代入第二个方 程组再求解. 由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程 组, 所以很容易求出方程组的解, 并且易于利用计算机求 解.1.3 矩阵特征值的估计意义: (1) n 阶复矩阵A的n个特征值的几何意义是复平面 上的n个点. 对于阶数较高的矩阵, 要
