对称结构的计算

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1、9.6 对称结构的计算对称结构是几何形状、 支座、 刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：对称荷载绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。反对称荷载绕对称 轴对这后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向 。对称轴对称轴EIEI对称轴qPP1P1对称荷载对称轴qP P1 P1 m反对称荷载1任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对成荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=WF 23、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，

2、仅用于力法) PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶如果荷载对称，MP对称， 3P=0，X3=0；如果荷载反对称，MP反对 称，1P=0， 2P=0， X1= X2 =0。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。3EIEIEI对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移， 内力PPCuc=0、c=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。对称：uc=0,c=0 中柱：vc=0PPCCP 等代结构PPC对

3、称：uc=0,c=0中柱：vc=0PPC对称：uc=0 中柱：vc=0 P等代结构c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。NCNCMC2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法 )4PPC2EIEIEIEI对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。a）、位于对称轴上的截面的位移， 内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构 P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶数跨对称结构的等代结构 将中柱刚度折半，结点形式不变b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的

4、截面设置成支杆5EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC返航当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP6198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MK kNm198198103.581135kNm396207 等代结构利用对称性计算要点： 选取等代结构； 对等代结构进行计算，绘制弯矩图； 利用对称或反对称性作原结构的弯

5、矩图； 非对称荷载分成对称和分对称荷载。EIEI2EIEIEI6m6m6m46kN/m7PPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2 l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解: 11 x1+1P=011=1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图8作图示刚架的弯矩图。 EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/29例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解: 11 x1+1

6、P=043111 1-=D-=dPX6444411=DPEIEI32564443424421111= +=dEIEI13341 M图(kN.m)2kN2kN10无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种：1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。PM=02）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力.PM=0M=03）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0 1P=0 110X1= 1P/11=0M=M1X1+MP=0PP PPP11EI2EI1EI1PlhP

7、/2P/2P/2P/2求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。M=0P/2P/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1 MPP/2Pl/2EIlPh EIlhPh1211182221=DEIl EIhl2312244+=EIlll EIlhl21111 32221 22+=dlIhIk12=lPh kk 2166 +-=XP111 1D-=d41626Ph kk+4166Ph kk+1241626Ph kk+4166Ph kk+41918 Ph4Ph2Ph 2Phk很小 弱梁强柱k很大 强梁弱柱4Ph41920 Phk=3荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。

8、内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者 ，内力也大。lIhIk12=13例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作 用下各杆弯矩为零反对称荷载作用 取等代结构如下1、取基本结构； 2、力法方程：=+EI=CEAP/2P/2P/2P/2P/2P/2等 代 结 构0 0P/2P/2X1基 本 体 系X1=1X1MP3、绘 求系数自由项4、解方程：5、按 绘弯矩图。1512715127M图a149-7 超静定拱的计算方法 16m3m15X1d111HPD-=jc

9、os1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=jcos2 dsEA+01dsEIyMP-=D2 1dsEAN+d2 1 11dsEIM=EI1 1dsMMP p=DMP=M 0 X1=1xyX1=1由于拱是曲杆111P不能用图乘法 基本体系是曲梁，计算1P时一般只 考虑弯曲变形， 计算11时，有时（在平拱中）还要 考虑轴向变形jjcossin0HQN-=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，内力的计算与三铰拱相同 即：三铰拱中：两铰拱中：d111HPD-=16MP=M 00 0E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M 0=DdsEIMMPP11+=dsE

10、ANdsEIM2 12 111d落地式拱带拉杆的拱作为屋盖结构如果E1A1，则H*H，因而两者的受力状态基本相同。如果E1A10，则H*0，这时，带拉杆的三铰拱实际一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适 当的加大拉杆的刚度。H*=117例：EI=常数，求H。拱轴线方程为0.5l0.5lfqyx BAqql81 ql83ql 162()xlqlM810-=()lxl 20+=Pi jjidxEIMMdxXEIMM()+=PjjidxMXMEIM EIidxMM0=Di=0=D+iPjijXd即：ijiPijiPijiPijiP404m2m2m4m2

11、00kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1 M图（kN.m)BAXA=144200 380-=12402044-+342 24100 24 -V A2420021 =DAX1=1111040= 14215301 -+ 142603021 -+4220401 -=1dsIM=DdsEIMM0=dsEIM封闭框结论:当结构只受荷载作用时,沿封闭框形的M/EI图形的总面积应等于零。41X1=1M1111q=23kN/m6m6mEIEIEIABX1X1=166M1198103.581135MkNm=0()6811356266 -+26 365 .1032+ 362 219861

12、1-=DEI0=()12681135 -+32 26811 1-=DEI42静定结构超静定结构荷载作用支座移动温度改变内力 变形 位移 内力 变形 位 移由平衡条件求不产生内力不产生变形综合考虑平衡条件和变形连续条件来求 M=EIt h静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表43超静定结构的特性：1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系；2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出， 还必须考虑变形条件；3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产 生内力。4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特 征有关，即与刚度有关。荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关

13、；非荷载外因引 起的内力与各杆的刚度绝对值有关。5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较 高的防御能力。6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小 局部的内力幅值和位移幅值。l/2l/2l/2l/2PPPPPl/4Pl/444例题： 力法解图 示刚架。q=23kN/m6m6mEIEIEIABCDq=23kN/m X1X1基本体系X2X2X1X1=166M1X2X2=166M2q=23kN/m414MP1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 11X1 12X21P021X1 22X2 2P03）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4）用（A）式求系数和自由项5）解方程，求多余未知力 144X1+108X23726=0 108X1+288X2=0X1=36， X2=13.56）按 M=MiXi+MP 叠加最后弯矩图198103.581135MkNm4546