数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章

2、定理；（4） FFT的基本原理及其应用。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.1.2 重要公式1）定义k=0, 1, , N1k=0, 1, , N12）隐含周期性离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3）线性性质若，则4）时域循环移位性质5) 频域循环移位性质离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章6）循环卷积定理循环卷积： L x(n)循环卷积的矩阵表示：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章循环卷积定理：若yc(n)=h(n) L x(n)则 Yc(k)=DFTyc(n)L=H(k)X(k) k=0, 1, 2, ,

3、 L1其中 H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTx(n)L6) 离散巴塞伐尔定理离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章7）共轭对称性质(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与轭对称序列 xop(n):序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（2）如果 x(n)=xr(n)+jxi(n)且 X(k)=Xep(k)+Xop(k)则 Xep(k)=DFTxr(n), Xop(k)=DFTjxi(n)（3）如果x(n)=xep(n)+xop(n)且 X(k)=Xr(k)+jXi(k)则 Xr(k)=DFTxep(

4、n), jXi(k)=DFTxop(n)（4）实序列DFT及FT的特点: 假设x(n)是实序列， X(k)=DFTx(n)，则X(k)=X*(Nk)|X(k)|=|X(Nk)|, (k)=(Nk)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.2 频率域采样我们知道，时域采样和频域采样各有相应的采样定理。频域采样定理包含以下内容:（1）设 x(n)是任意序列， X(ej)=FTx(n)，对X(ej)等间隔采样得到k=0，1，2，3，N1 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2) 如果x(n)的长度为M，只有当频域采样点数NM时， xN(n)=x(

5、n)，否则会发生时域混叠， xN(n)x(n)。通过频率域采样得到频域离散序列xN(k)，再对xN(k)进行IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行周期化后的主值区序列，这一概念非常重要。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(3) 如果在频率域采样的点数满足频率域采样定理，即采样点数N大于等于序列的长度M，则可以用频率采样得到的离散函数X(k)恢复原序列的Z变换X(z)，公式为式中上面第一式称为z域内插公式，第二式称为内插函数。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分

6、析3.3.1 循环卷积的快速计算如果两个序列的长度均不很长，可以直接采用循环卷积的矩阵乘法计算其循环卷积；如果序列较长，可以采用快速算法。快速算法的理论基础是循环卷积定理。设h(n)的长度为N， x(n)的长度为M, 计算yc(n)=h(n) L x(n)的快速算法如下：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（1）计算 k=0,1,2,3,，L1，L=maxN, M（2）计算 Yc(k)=H(k)X(k) k=0, 1, 2, , L1（3）计算 yc(n)=IDFTYc(k)L n=0, 1, 2, , L1说明：如上计算过程中的DFT和IDFT均采用FFT算

7、法时，才称为快速算法，否则比直接在时域计算循环卷积的运算量大3倍以上。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.3.2 线性卷积的快速计算快速卷积法序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M， L=N+M1，求y(n)=h(n)*x(n)的方法如下：（1）在h(n)的尾部加LN个零点，在x(n)的尾部加LM个零点；（2）计算L点的H(k)=FFTh(n)和L点的X(k)=FFTx(n);（3）计算Y(k)=H(k)X(k)；（4）计算Y(n)=IFFTY(k)， n=0，1，2，3，L-1。但当h(n)和x(n)中任一个的长度很长或者无限长时，需用书上介绍的重叠相

8、加法和重叠保留法。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.3.3 用DFT/FFT进行频谱分析对序列进行N点的DFT/FFT就是对序列频域的N点离散采样，采样点的频率为k=2k/N, k=0, 1, 2, , N1。对信号进行频谱分析要关心三个问题：频谱分辨率、频谱分析范围和分析误差。 DFT的分辨率指的是频域采样间隔2/N，用DFT/FFT进行频谱分析时，在相邻采点之间的频谱是不知道的，因此频率分辨率是一个重要指标，希望分辨率高，即2/N要小， DFT的变换区间N要大。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章当然，截取信号的长度要足够长。但

9、如果截取的长度不够长，而依靠在所截取的序列尾部加零点，增加变换区间长度，也不会提高分辨率。例如，分析周期序列的频谱，只观察了一个周期的1/4长度，用这些数据进行DFT，再通过尾部增加零点，加大DFT的变换区间N，也不能分辨出是周期序列，更不能得到周期序列的精确频率。用DFT/FFT对序列进行频谱分析，频谱分析范围为; 用DFT/FFT对模拟信号进行频谱分析，频谱分析范围为采样频率的一半，即0.5Fs。用DFT/FFT对信号进行谱分析的误差表现在三个方面，即混叠现象、栅栏效应和截断效应。截断效应包括泄漏和谱间干扰。离散傅里叶变换(DFT)及其快

10、速算法 (FFT)第章3.4 例题例3.4.1 设x(n)为存在傅里叶变换的任意序列，其Z变换为X(z)，X(k)是对X(z)在单位圆上的N点等间隔采样，即求X(k)的N点离散傅里叶逆变换（记为xN(n)）与x(n)的关系式。解: 由题意知离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章即X(k)是对X(ej)在0, 2上的N点等间隔采样。由于X(ej)是以2为周期的，所以采样序列即以N为周期。所以它必然与一周期序列相对应，为的DFS系数。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章为了导出与x(n)之间的关系，应将上式中的用x(n)表示：所以离散傅

11、里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章因为所以即是x(n)的周期延拓序列，由DFT与DFS的关系可得出离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章xN(n)=IDFTX(k)为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期）的主值序列。以后这一结论可以直接引用。例3.4.2 已知x(n)=R8(n), X(ej)=FTx(n)对X(ej)采样得到X(k)，求离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解：直接根据频域采样概念得到例3.4.3 令X(k)表示x(n)的N点DFT，分别证明：（1）如果x(n)满足关系式x(n)=x(N1n) 则X(0)=0（2）当

12、N为偶数时，如果x(n)=x(N1n) 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证（1）直接按DFT定义即可得证。因为所以令n=N1m，则式+式得离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以X(0)=0（2）因为x(n)=x(N1n)，所以令m=N1n，则上式可写成离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章当时（N为偶数），因为所以因此证得离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例3.4.4 有限时宽序列的N点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。我们希望求出X(z)在半径为r的圆上的N点等间隔采样，即试

13、给出一种用DFT计算得到的算法。解: 因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以由此可见，先对x(n)乘以指数序列rn，然后再进行N点DFT，即可得到题中所要求的复频域采样。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例3.4.5 长度为N的一个有限长序列x(n)的N点DFT为X(k)。另一个长度为2N的序列y(n)定义为试用X(k)表示y(n)的2N点离散傅里叶变换Y(k)。解: 该题可以直接按DFT定义求解。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章上面最后一步采用的是X(k)以N为周期的概念。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (

14、FFT)第章例3.4.6 用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号xa(t)的最高频率为200 Hz，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列x(n)=xa(nT)，要求频率分辨率为10 Hz。假设模拟信号频谱Xa(j)如图3.4.1所示，试画出X(ej)=FTx(n)和X(k)=DFTx(n)的谱线图，并标出每个k值对应的数字频率k和模拟频率fk的取值。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章图3.4.1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: 因为最高频率fmax=200 Hz，频率分辨率F=10 Hz，所以采样频率fs为观察时间采样点数N=Tfs=

15、0.1400=40个所以，对xa(t)进行采样得x(n)=xa(nT) n=0, 1, , 39离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章Xa(jf)、 X(ej)及X(k)N分别如图3.4.2（a）、（b）、（c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章图3.4.2离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章当fs=2fmax时， f=fmax 对应，由可求得；当fs2fmax时，fmax对应的数字频率=2fmaxT。 Xa(if)与X(k)的对应关系（由图3.4.2（a）、（c）可看出）为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章该例题主要说明了模拟信号xa(t)的时

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