数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第3和4章

2、定理；（4） FFT的基本原理及其应用。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.1.2 重要公式1）定义k=0, 1, , N1k=0, 1, , N12）隐含周期性离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3）线性性质若，则4）时域循环移位性质5) 频域循环移位性质离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章6）循环卷积定理循环卷积： L x(n)循环卷积的矩阵表示：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章循环卷积定理：若yc(n)=h(n) L x(n)则 Yc(k)=DFTyc(n)L=H(k)X(k) k=0, 1, 2, ,

3、 L1其中 H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTx(n)L6) 离散帕斯威尔定理离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章7）共轭对称性质(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与轭对称序列 xop(n):序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（2）如果 x(n)=xr(n)+jxi(n)且 X(k)=Xep(k)+Xop(k)则 Xep(k)=DFTxr(n), Xop(k)=DFTjxi(n)（3）如果x(n)=xep(n)+xop(n)且 X(k)=Xr(k)+jXi(k)则 Xr(k)=DFTxep(

4、n), jXi(k)=DFTxop(n)（4）实序列DFT及FT的特点: 假设x(n)是实序列， X(k)=DFTx(n)，则X(k)=X*(Nk)|X(k)|=|X(Nk)|, (k)=(Nk)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.2 频率域采样我们知道，时域采样和频域采样各有相应的采样定理。频域采样定理包含以下内容:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章如果在频率域采样的点数满足频率域采样定理，即采样点数N大于等于序列的长度M，则可以用频率采样得到的离散函数X(k)恢复原序列的Z变换X(z)，公式为式中上面第一式称为z域内插公式，第

5、二式称为内插函数。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分析3.3.1 循环卷积的快速计算如果两个序列的长度均不很长，可以直接采用循环卷积的矩阵乘法计算其循环卷积；如果序列较长，可以采用快速算法。快速算法的理论基础是循环卷积定理。设h(n)的长度为N， x(n)的长度为M, 计算yc(n)=h(n) L x(n)的快速算法如下：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（1）计算 k=0,1,2,3,，L1，L=maxN, M（2）计算 Yc(k)=H(k)X(k) k=0, 1, 2, , L1（3）

6、计算 yc(n)=IDFTYc(k)L n=0, 1, 2, , L1说明：如上计算过程中的DFT和IDFT均采用FFT算法时，才称为快速算法，否则比直接在时域计算循环卷积的运算量大3倍以上。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例1 有限时宽序列的N点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。我们希望求出X(z)在半径为r的圆上的N点等间隔采样，即试给出一种用DFT计算得到的算法。解: 因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以由此可见，先对x(n)乘以指数序列rn，然后再进行N点DFT，即可得到题中所要求的复频域采样。

7、离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例2 长度为N的一个有限长序列x(n)的N点DFT为X(k)。另一个长度为2N的序列y(n)定义为试用X(k)表示y(n)的2N点离散傅里叶变换Y(k)。解: 该题可以直接按DFT定义求解。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章上面最后一步采用的是X(k)以N为周期的概念。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例3 已知序列x(n)=1, 2, 2, 1, h(n)=3, 2, 1, 1（1）计算5点循环卷积y5(n)=x(n) L h(n); （2）用计算循环卷积的方法计算线性卷积y(n)=x(n)*h(

8、n)。解：(1)这里是2个短序列的循环卷积计算，可以用矩阵相乘的方法计算，也可以用类似于线性卷积的列表法。因为要求5点循环卷积，因此每个序列尾部加一个零值点，按照教材式(3.2.7)写出离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章得到y5(n)=4, 9, 9, 6, 2。注意上面矩阵方程右边第一个55矩阵称为x(n)的循环矩阵，它的第一行是x(n)的5点循环倒相，第二行是第一行的向右循环移一位，第三行是第二行向右循环移一位，依次类推。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（2）我们知道只有当循环卷积的长度大于等于线性卷积结果的长度时，循环卷积的

9、结果才能等于线性卷积的结果。该题目中线性卷积的长度为L4+41=7，因此循环卷积的长度可选L=7，这样两个序列的尾部分别加3个零点后，进行7点循环卷积，其结果就是线性卷积的结果。即离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章得到y(n)=x(n)*h(n)=3, 8, 9, 6, 2, 1, 1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章例4 已知实序列x(n)和y(n)的DFT分别为X(k)和Y(k)，试给出一种计算一次IDFT就可得出x(n)和y(n)的计算方法。（选自2004年北京交通大学硕士研究生入学试题。）解：令 w(n)=x(n)+jy(n)对其进

10、行DFT，得到W(k)=X(k)+jY(k)w(n)=IDFTW(k)因为x(n)和y(n)分别为实序列，因此x(n)=Rew(n)y(n)=Imw(n)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3.5 教材第3章习题解答1 计算以下序列的N点DFT，在变换区间0nN1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=(n)(3) x(n)=(nn0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) (6) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(7) x(n)=ej0nRN(n)(8) x(n)=sin(0n)RN(n)(9) x(n)=cos(0n)

11、RN(N)(10) x(n)=nRN(n)解：(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（2）（3）(4)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(5)0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章0kN1(7) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章或（8）解法一直接计算：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章即结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(

12、9) 解法一直接计算: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二由DFT共轭对称性可得同样结果。因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（10）解法二上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到X(k)X(k)WkN+N=N(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章故当k=0时，可直接计算得出X(0)为这样， X(k)可写成如下形式：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法一 k=0时， k0时

13、，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以，，即2 已知下列X(k)，求x(n)=IDFTX(k)(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: （1） n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章4 证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFTx(n)，证明DFTX(n)=Nx(Nk)证：因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其

14、快速算法 (FFT)第章由于所以DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N15 如果X(k)=DFTx(n)，证明DFT的初值定理证: 由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章可知6 设x(n)的长度为N，且X(k)=DFTx(n) 0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k)的关系式。解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以 8 证明频域循环移位性质：设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)，如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)，则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章令m=k+l, 则9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章求Y(k)与X(k)的关系式。解

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