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1、1本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。2171 动力学普遍方程172 拉格朗日第二类方程173 拉格朗日第二类方程的积分 第十七章 拉格朗日方程3设质点系有n个质点，第i个质点若质点系受有理想约束，将 作为主动力处理，则：解析式：17-1 动力学普遍方程动力学普遍方程。4例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光 滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三 棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组
2、 成的系统。该系统受理想 约束，具有两个自由度。在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的 主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。5由动力学普遍方程：系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，且 ，所以 解得：617-2 拉格朗日第二类方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度 k=3n- s 。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点 。若取系统的一组广义坐标为 ，则称 为广义速度。7代入质点系动力学普遍方程，得：8称 为广义力 广义惯性力9广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：下面来
3、推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对 求偏导数即可得到。 10第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。 11如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系的势 能来表达。而拉氏方程为：引入拉格朗日函数：L=T-U 则：保守系统的拉格朗日方程。12应用拉氏方程解题的步骤：1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3. 计算广义力 ，计算公式为： 或若主动力为有势力，须将势能
4、U表示为广义坐标的函数 。4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5. 求出上述一组微分方程的积分。13例1 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角 为广义坐标。解：图示机构只有一个自由度1415代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件，t =0 时， 得16例2 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l
5、 ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。17系统动能：18系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）拉格朗日函数：19代入：并适当化简得 ：20系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则2117-3 拉格朗日第二类方程的积分对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
6、首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。 一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则22广义能量积分 。保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=023系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。二、循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为24积分得：循环积分因L = T - U，而U中不显含 ，故上式可
7、写成Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。25例 3 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个
8、自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标原点均在初始位置。 26系统的动能：系统的势能：取水平面为重力势能零点。拉格朗日函数：27代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分 方程。（d）解得楔形体的加速度为拉格朗日函数L中不显含 t ，故系统存在能量积分。28当t =0时， ，x = s = 0 , 代入上式中，得 29由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分：t = 0时 ，故上式中C2 = 0 ，可得（f )， ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在x方向守恒。 3031
