大学物理 第3章动量定理

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1、重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 动量单位：千克米/秒, kgm/s3.1 3.1 质点的动量定理质点的动量定理 一、动量定理momentum质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。由Newton第二定律，得：这就是动量定理。在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运 动情况下，只有动量定理成立。即：momentum theorem重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 由动量定理，有：二、冲量定理元冲量冲量冲量impulse作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。单位：牛顿秒, Ns冲量是矢

2、量，其方向为合外力的方向。冲量定理：即：合外力的冲量等于质点的动量增量。impulse theorem重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受 的合力称为此时刻质点上的冲力。平均冲力与同段时间内变力等效。冲力当变化较快时，力的瞬时值很 难确定，用一平均力代替该过 程中的变力，这一等效力称为 冲击过程的平均冲力。impulsion平均冲力mean impulsion重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤 ，如果不是海棉垫子，而是 大理石板，又会如何呢

3、？思考 例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大 ，所用时间短；如果牵引力 小，所用的时间就长。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 动量与冲量的区别.动量是状态量；冲量是过程量；.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。讨论冲量定理的使用.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。.F为合外力，不是某一个外力。.动量定理的分量式：.平均冲力的计算由：重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 解：以人为研究对象，可分为两个运动过程，1.自由下落过程到达地面时的速率为：2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向

4、上为坐标正向。例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 由：可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲 击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。即：重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例1.质量分别为 mA 和 mB ( mA mB )的两质点 A 和 B ,受到相等的 冲量作用,则： C (A) A 比 B 的动量增量少. (B) A 比 B 的动量增量多. (C) A 、 B 的动

5、量增量相等. (D) A 、 B 的动能增量相等.思考题 重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例2.质量为 20g 的子弹沿 x 轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与 木块一起以50m/s 的速度仍沿 x 轴正向前进，在此过程中木块所受冲量 的大小为（A）（B）（C）（D） A 重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指 向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：（A）mv（B）0（C）2mv（D）-2mv D 重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例4

6、.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达 顶点情况是（A）甲先到达。（B）乙先到达。（C）同时到达。（D）谁先到达不能确定。 C 以甲、乙、绳、滑轮为系统重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小 球转动一周的过程中，求：小球动量增量的大小。小球所受重力的冲量大小。小球所受绳子拉力的冲量大小。小球运动一周动量变化为0。由可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：解：重 大 数 理 学

7、院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 3.2 3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 一、质点系 在实际问题中，选取质心作 用参考点，常使得问题简化。 质心相互作用的质点构成的整体，称为质 点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的 性质），质点系的整体运动可以看做是各 个质点单独运动的迭加。质心的位矢mass centerparticle system将质点系看做是具有质量中心 的系统，质点系的运动可以由此点 的运动来替代。这个特殊点叫做质 点系的质量中心，简称质心。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 对于N个质点组成的质点系中的第i个 质点，满足动量定理 ：二、质点系的动量定

8、理N个质点列出N个方程，取和得到：显然：即：质点系的合外力导致总动量的变化。resultant external force重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。动量守恒定律即：质点系的合外力为零时，系统的总动量保持不变，也就是质点动量的 矢量和不变。三、质点系的冲量定理显然：外力元冲量为：积分得到：The law of conservation of momentum3.3 3.3 动量守恒律动量守恒律 重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。例如：两队运动员拔河，有

9、的人说甲队力气大，乙队 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?甲队乙队讨论质点系的动量定理重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 分析： 拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作 用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。 只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的 摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员， 以增加系统外力。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，通过内力的 作用，动量在系统内的各个质点间进行转移。3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果

10、内力远大于外力， 或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以 写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合 外力与动量变化之间的关系。例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例: 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上 。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中任 意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。设 t=0 时刻，绳的上端为 x 轴 的原点O ，向下为正方向，绳长 为 l ,总质

11、量为 M 。证：由牛顿第三定律， , 为桌面对绳子的作用力， 为绳子对桌面的反作用力。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 则t时刻，已落到桌面上的绳长为x，质量为：重力为：以之为研究对象，受力如图所示。由平衡条件：代入得到：重力平均冲击力支持力重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 求 T：取 dt 内落至桌面的 dx 为研究对象，受力如图所示：下落时桌面绳子对它的作用力，即平 均冲击力的反作用力：由动量定理：即：重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰

12、撞、完全非弹性碰撞。特点：机械能守恒、动量守恒。碰前碰撞四、碰撞过程1.完全弹性碰撞碰后totaly elastic collisioncolliding process重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 由机械能守恒：由动量守恒：联立求解：重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 2.讨论：当m1m2时，且第二个球静 止，则碰后，第一个球速度 不变，而第二球以2倍于第 一个球的初速度运动。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞 后两物体合为一体。物体形变能量不能 恢复。2.完全非弹性碰撞碰前碰后totall

13、y non-elastic collision重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例1.质量为 M =2.0 kg 的物体（不考虑体积）,用一根长 l =1.0 m 为的 细绳悬挂在天花板上,今有一质量为 m=20 g 的子弹以v0=600 m/s 的水平 速度射穿物体,刚射出物体时子弹的速度大小 v = 30 m/s, 设穿透时间极 短,求:子弹刚穿出时绳中张力的大小。 子弹在穿透过程中所受的冲量。因穿透时间极短,可认为物体未离开平 衡位置,因此,作用于子弹、物体系统上的外 力均在竖直方向, 故系统在水平方向上动量 守恒,设子弹穿出时物体的速度为 则:解：重 大 数 理

14、学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 - 号表示冲量的方向与速度方向相反，即水平向左。子弹穿出瞬间，物体绕悬挂点做圆周运动：（2）子弹受冲量:重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 例2.一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m，速度 v1=800m/s，向西；第二块质量为m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为 2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 3.4 3.4 角动量角动量 角动量定理角动量定理 动量矩（角动量）角动量是另一种矢量矩。对点的动 量矩定义如右图所示。一、矢量矩对某一参考点而言，定义

15、矢量对 此点的矩，称为对点的矢量矩；对某 轴的矩，称为对轴的矢量矩。力矩（角力）力矩是一种矢量矩。对点的力 矩定义如右图所示：oovectors momentmomentangular momentum重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 冲量矩（角冲量）冲量矩是另一种矢量矩。对点的冲量矩定义为：元冲量矩冲量矩即：力对给定点的冲量矩定义为力对该点的力矩对时间的累积。.同一矢量对不同的参考点，相应的矢量矩是不同的。.力矩、动量矩、冲量矩是转动力学量，与平动力、动量、冲量相当。单位：牛顿米秒， N m sangular impulsion注意重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 平动中的动量定理:二、角动量定理对上式做以下矢量运算:由于:得到:即：动量矩的时间变化率来 源于作用在点上的合力矩。angular momentum theorem重 大 数 理 学 院赵 承 均第一篇第一篇 力学力学 即：合外力的冲量矩等于质点对同一 参考点的的角动量的增量。三、冲量矩定理角动量守恒率由角动量定理:显然有:即：作用在点上的合力矩为零时，质点对参考点的动量矩不变。由角动量定理:积分得到冲量矩定理:The law of conservation of angular momentum3.5 3.5 角动量守恒律、冲量矩定理角动量守恒律、冲量矩定