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1、第一章 微积分1.5 不定积分上页 下页 返回 结束 主要教学内容：原函数与不定积分的概念基本积分公式表不定积分的线性运算换元法分部积分法积分表的使用2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 2.5.1 原函数与不定积分1. 基本概念2. 不定积分的几何意义3. 积分与微分的关系2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 1.基本概念在小学和中学我们学过逆运算，例如：加法的逆运算是减法;乘法的逆运算是除法;指数的逆运算是对数等。 2.5 不定积分微分是否有逆运算？若有, 是什么？上页 下页 返回 结束 微分法：互逆运算 积分法:2.5 不定积分微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！ 上页 下页 返回
2、 结束 定义1 设 在区间 内有定义,若存在函数 使得则称 为 在 内的一个原函数。（原函数是整体性质）（导函数也是整体性质；导数？）1.什么条件下函数 存在原函数？2.若 有原函数，共有多少？3. 的任意两个原函数之间有何关系？ 2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 说明：1. 原函数存在定理：连续函数一定有原函数。2. 若 ，则对任意常数 ， 都是的原函数。例如： 表明 是 的一个原函数, 而对任意常数 都有 ，因此 的原函数不惟一，有无穷多个。3. 设 都为 的原函数，则 。2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分定义2 若为的一个原函数，则的所有原函数 称为的不定积分
3、，记为积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 一个原函数 任意常数符 号 说 明上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例1 已知 ，求 计算不定积分时，只需找到一个原函数，再加任意常数 即可。 检验不定积分运算是否正确，只需求导验证。例2 已知 ，求解： 解：上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分一个原函数对应于一条积分曲线不定积分则对应于积分曲线簇无数条积分曲线被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率同一横坐标处，切线平行2.不定积分的几何意义若 为 的一个原函数，则称 的图像为 的一条积分曲线。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分将 代入上式,例3 已知曲线 在任意一点 处的切线斜率
4、为 ，且 曲线通过点 ,求曲线方程。解：依题意 因此这样的曲线 有无穷多条，而其中通过 的曲线只有一条，因此得 故通过 的曲线方程为上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例4 求解 ：而这是因为不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!上页 下页 返回 结束 14（2）关于“不定积分”与“原函数”的联系和区别 的原函数，是 求导以前“原来的函数”； 而 的不定积分，是 的“全部原函数”，它可 以表示为“ 的一个原函数加任意常数C”的形式。15为了让文科学生形象地理解“ 的原函数”的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的函数 ”的含义： 的括号中需要填的，就是 的原函数 。16的不定积分，是一
5、个集合，是 的“全部原函数”的集合，它的表现形式是“ +C, C 是任 意常数”，其中 是 的任意一个原函数。既 然 是 的“任意”一个原函数，所以解答的 表现“形式”，某人可能与别人不一样，但也许都是 正确的；因为虽然其中的“一个原函数”两人选得不 同，可是加上任意常数C以后，表达的“ 的全 部原函数”的集合就完全一样了；并且，两人选得不 同的“一个原函数”，其间也仅仅相差某一个常数。 17这里体现了“形式与本质”的矛盾统一， 并且通过“加常数C”的途径发生转化。有些文科学生对此理解有困难，我们就用具体的例子来说明上面一般的道理，还配 以多媒体演示，效果较好。18例：这是因为 。 19但 ，
6、因而我们又有。20此例表明，不定积分的答案“形式”往往不止一个；现在由于 与 都是 的原函数，所以两个答案都是正确的。又由于，于是，两人选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数 。 21再请看这两个原函数 与的图象，就更加清楚了。22这两个原函数的图像可以通过“上下平移 ”互变,表明这两个函数在任一点的函数值都只 相差一个常数 。23然后启发学生想象：“ 的全部原函数 ”的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思维转化为语言。24这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学生这 时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师 因势利导，逐步展示出下面的图形。2526
7、27学生由此恍然大悟：不定积分 的答案，原来是“一簇”函数，是包含无穷多函数的一个集合。这样，学生不但对“全部原函数”的概念具体化 了，而且对该概念中“形式与本质”的矛盾统一，以 及对于它们如何通过“加常数C”的途径发生转化，理解得更加深刻了，全面了。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分3.积分与微分的关系以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变化，例如：不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积 分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有 变化？ 上页 下页 返回 结束 设 为 的一个原函数，2.5 不定积分先微分再积分先积分再微分结论：上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分
8、2.5.2 基本积分公式表由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式即可求出基本初等函数的不定积分公式。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例5 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分2.5.3 不定积分的线性运算对比求导运算中的公式不定积分也有类似运算上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例6 求解：原式注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任 意性，可写成一个任意常数。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例7 求解：原式例8 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例9
9、 求解：原式例10 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分利用前几节学过的知识无法解决上述问题，因此要引入新 的方法换元法。2.5.4 换元法问题引出：求 （提示： ） 换元法第一换元法 凑微分法第二换元法上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分1.第一换元法 凑微分法 形如注：1.验证。2.不要忘记将 换回 ！适用情况 ：具体方法 ：上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例11 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例12 求此题可用两种方法求解。方法一：（直接用第一换元法）原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分方法二：（利用三角函数倍角公式）原式发现：两种方
10、法得出答案形式上不一样，但本质一样，你可 算算看！又是“形式与实质的矛盾统一”！上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例13 求解：原式熟练掌握“凑微分法”后,中间换元的步骤可以省略。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例14 求解：原式例15 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例16 求解：原式例17 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例18 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例19 求解：原式但是若遇到这样的题：我们无法应用上述方法，需要引入第二换元法。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分2.第二换元法被积函数中含有具体方法 ：适用
11、情况 ：上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例20 求解：原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例21 求解：做后，介绍一种直观的图解法， 作一个直角三角形，其中一锐角为三边为将 代入原式有由图可见，上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例22 求解：做后， 由图可见原式综上，上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例23 求解：做后， 由图可见原式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分2.5.5 分部积分法有连续导数，当 不易计算， 而 比较容易计算时。适用情况 ：具体方法 ：这就是 分部积分公式上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分设 具有连续导数，则即 两边同时取积分，得
12、到分部积分公式 分部积分公式关键是选择适当的 和 。一般地，按照 指数函数、三角函数、幂函数、对数函数和反函数的优先 顺序选择 。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例24 求解：例25 求解：若 选择不当会使积分变得更复杂，你可试试！上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例26 求解：由此可推出上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例27 求解：例28 求解：上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分例29 求解：有时，换元法与分部积分结合使用！上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分2.5.6 积分表的使用下面列出本节已得到的基本积分公式，利用这些公式， 可使积分计算大大简化。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分有些书上还有更多的积分表 ，可以使用。上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分但是，有些不定积分是“积不出来”的。这与“求导”不一样。上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2.5 不定积分本节结束谢谢！
