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1、第四章 1.试分析图中 a,b,c 三种情况的几何组成。B A B A B A C a b c 解 (1) 图 a 中 AB 杆可视为刚片 I,基础(地球)为刚片,它们由三根支杆相连,且 此三支杆既不全平行又不全交于一点,所以体系是几何不变的,且无多余联系。(2) 图 b 中杆 AB 和基础分别视为刚片,两刚片之间连接是由相交于 A 点的三支杆 相连,所以,体系是几何可变的。这里必须指出,虽然两刚片相互连接是由三根支杆相连,从支杆的联系数目来说是符合 规则的,但由于支杆的布置不恰当,体系就成为可变了。(3) 图 c 中杆 ABC 为刚片 I,基础为刚片,两刚片是由四根支杆相连,且支杆之间既不
2、全平行,又不全交于一点,所以,体系为几何不变,且有一个竖向的多余联系。 2.试分析图示结构的几何组成。解 分别将图中的 AEC,BFD,基础视为刚片 I,刚片 I 和以铰 A 相连,A 铰用 (1,3)表示,B 铰是联系刚片和的以(2,3)表示,刚片 I 和刚片是用 CD,EF 两链杆相 连,相当于一个虚铰 O 用(1,2)表示,如图 b 所示。则连接三刚片的三个铰(1,3),(2,3),(1,2)不在一直线上,故为不变体系,且无多余 联系3.试分析图示结构的几何组成。此体系初看似很复杂,不能直接应用两个基本规则来分析,但经过简化后就容易了。解 首先把上部和左、右两边二元片撤除,如图 b 所示
3、,AB、BC、基础分 别为刚片,刚片 I,和刚片,分别由链杆以虚铰(1,3), (2,3)相连,刚片 I,由 B 铰(1,2)相连,此三铰(1,3),(2,3),(1,2)不 在一直线上。所以,整个体系为几何不变,且无多余联系。4.试分析图 a,b 所示体系的几何组成。解 (1) 在图 a 中,将 ABC 和 DEF 分别合成为刚片 I,此两刚片由 BE,CD 两链杆相 连,因为缺少一联系,故体系是可变的。(2) 在图 b 中,将 ABC 和 DEF 分别合成为刚片 I,此两刚片若用 BE,BD,CD 三根 不全平行也不全交于一点的链杆相连,就是不变体系,现在多了一根链杆 CE,所以,整个 体
4、系为几何不变,且有一多余联系。 5.试分析图示体系的几何组成。A(1,3) B C E F (1,2)D (2,3) I a) A B C E F D b) II III II III I 解法一 如图 a 所示,将基础,BCDEF,AB 分别视为刚片 I,刚片工和用两支杆交于 D 点的虚铰相连,B 铰连接刚片,A 铰连接刚片 I,则三铰(1,2),(2,3),(1,3)不 在一直线上。故体系为不变的,且无多余联系。解法二将基础和杆 BCDEF 视为刚片 I,而刚片 AB 是用 A、B 两铰与其他部分相连,可将刚 片 AB 视为链杆(以虚线在图 b 中所表示 AB 链杆)。因此,两刚片用三根不
5、全平行也不全交 于一点的链杆相连,同样,可得到几何不变的结论。1.已知一剪支梁如图所示,荷载 P1=24KN,P2=80KN,求梁跨中截面 E 处的剪力 QE和弯矩 ME 。解 (1)求支反力,梁上无水平力,故只有垂直方向支反力 VA和 VB。假设支应力的方 向如图所示。由平衡条件MA=0 VB4P11P22.5=0VB=1/4(241802.5)=56KNMB=0 VA4P13P21.5=0VA=1/4(243+801.5)=48KN用My=0 校核VAVBP1P2=4856-24-80=0校核结果表明支反力计算无误。(2)用截面法求剪力 QE和弯矩 ME用截面法在截面 E 处切开,考察左段
6、梁的平衡,并假设 QE和 ME 均为正值,如图 b 所示。由y=0 VAP1QE=0QE= VAP1=4824=24KNME =0 MEVA2 P11=0ME= VA2P11=482241=72KNM得到的 QE 和 ME 均为正值,说明假设方向对,E 截面上的剪力 QE 和弯矩 ME 均为正值。2.简支梁受均布力 q 和集中力偶 ME=ql2/4 的作用,如图 a 所示。求 C 截面的剪力和弯矩。解 (1)支反力此题求支反力时可用叠加法求较为方便,即分别求出在 q 和 ME单独作用时梁的支反 力,然后求其代数和:VA=ql/2+ME/L= ql/2+ ql2/4=3ql/4VB= ql/2-
7、ME/L= ql/4再由y=0 校核VAVBql=3ql/4+ ql/4ql=0上式表明支反力计算无误。在求 C 截面的内力时,因为 C 截面作用有集中力偶 ME,故 C 截面稍左面和稍右面的内 力可能不同,现分别计算如下:(2)求 C 截面稍左截面处的剪力 QC 左和弯矩 MC 左,如图 b由y=0 QC 左VA+ qL/2=0故 QC 左= VAqL/2= 3ql/4ql/2= ql/4由MC=0MC 左VAL/2+ qL/2L/4=0故 MC 左= VAL/2qL/2L/4= 3qL/4L/2qL/2L/4= ql2/4(3)求 C 截面稍右截面处的剪力 QC 右和弯矩 MC 右由y=0
8、QC 右VA+ qL/2=0故 QC 左= VAqL/2= 3ql/4ql/2= ql/4由MC=0MC 右VAL/2+ qL/2L/4+=0故 MC 左= VAL/2qL/2L/4= 3qL/4L/2qL/2L/4= ql2/4 3.简支梁作用均布荷载 q,如图所示。试绘出该梁的剪力与弯矩图。解 (1)支反力由对称性可知 VA=VB=ql/2(2)取 A 点为坐标原点,列出剪力和弯矩方程Q(x)= VAqx= ql/2qx (0b,绘制剪力和弯矩图。解 (1)求支反力VA=pb/L VB=pb/L取梁的 A 点为坐标原点。由于集中力 P 作用在 C 点处,所以,应将梁分为 AC 和 CB 两
9、段 列出剪力方程和弯矩方程式。AC 段Q(x)= VA=pb/L (0Nl/1 =100103/120106 =0.8310-3m2=8.3cm2查型钢表,选 256564,得面积 A,1=24.39cm2=8.78cm2 A,1所以,AB 杆附合强度要求。BC 杆 A2N2/2 =100103/80106 =1.2510-3m2=12.5cm2查型钢表,选 263635,得面积 A,2=26.134cm2=12.286cm22,且(BC-2)/2=(81.4-80)/80=1.75%t2(拉板与盖板材料相同) ,故取 AC=t2d。c = (P/n) /(t2d)=100103/32010-
10、31610-3=104 MPac故采用 3 只铆钉是安全的。 3按板的抗拉强度计算板宽 b图示左拉板的受力分析与轴力图。可见 1-1 与 2-2 均可能为危险截面,故分别计算:1-1 截面 1-1=P/(b-d)t2 bP/t2 +d =100103/2010-3160106 +1610-3=47.2 mm2-2 截面 2-2=2P/3 /(b-2d)t2 b2P/3 /t2 +2d =2100103/32010-3160106 +21610-3=52.83 mm考虑盖板拉伸强度:3-3 截面 P/2 /(b-2d)t1 bP/2t1 +2d =100103/2160106 1210-3 +2
11、1610-3=58 mm所以,综合考虑拉板与盖板的拉伸强度,取 b=58mm。4按板的剪切强度计算板端尺寸 L图示板端可能沿铆钉孔发生剪切破坏,则 a-a,c-c 为剪切面,剪切面上的剪力 Q=P/6。=Q/AQ= (P/6)/ Lt2因此:L(P/6)/t2=100103/62010-3100106 =8.33 mm 7.图示的楼板梁,采用 210 槽钢的截面,承受由楼板传来的荷载 P=3kN/m2,钢梁的间距为 1.2m,跨度为 L=5m,许用应力=140MPa,试校核梁的强度。解 支承在墙上的槽形钢梁可按简支梁计算,其计算简图见图,每根梁承受的均布荷载为: q=31.2=3.6kNm梁的
12、最大弯矩发生在跨中,其值为:Mmax = ql2/8 =3.652/8=11.25 kNm查型钢表,得梁的抗弯截面模量为:Wz=239.7103=79.410-6 m3校核梁的强度max = Mmax / Wz=11.25 /79.410-6 =142Mpa=140MPa满足正应力强度条件。8.如果上例中槽钢梁的跨度改为 L=4m,问梁能承受的最大荷载 q(kN/m)和地板传来的最大 荷载 p(kNm2)各为多少?解 根据强度条件,梁能承受的最大弯矩 Mmax = Wz ,而跨中最大弯矩与 q 的关系又为 Mmax = ql2/8,故 Wz = ql2/8,从而得到梁能承受的最大均布荷载为:q
13、= 8Wz /l2= 879.410-6140106/42 =5.558kNm地板传来的最大荷载可为p=5.558103/1.2=4.63kNm2所以如果跨度减少 15,则荷载 p 增大 1.543 倍,这是因为荷载与跨度的平方成反比 的关系。 9.长度为 L=2.5m 的外伸梁,其外伸部分长 a =0.5m,梁上作用均布荷载 q = 24kN/m,容许 应力=160MPa,试选工宇钢型号。解 支反力 VA= 22.5kN,VB=37.5 kN,并画出弯矩图与剪力图,得:Mmax=10.54kNm由强度条件计算出 Wz :Wz = Mmax /= 10.54103/160106= 65.810
14、3mm3再由 Wz值,在型钢表中查出与该值接近的型钢号,I12.6 ,Wz =77.529103mm3,大于 计算结果。 10.一民用房屋的三角形木屋架,桁条采用圆木,简支支承在屋架上,桁条间距为 80cm,屋架间距为 3.6m,屋面上静荷载(包括瓦、油毡、屋面板和桁条自重)为 0.8kNm2,屋面雪荷载为 0.5kN/m2,木材为杉木,许用应力=11MPa, =1.2MPa。试按强条件选择桁条的直径 d0。解 (1) 画出计算简图并求出荷载:q=(0.8+0.5)0.8=1.04 kN/m(2) 画出弯矩图与剪力图,确定最大内力及其截面Mmax= ql2/8=1.043.62/8=1.69
15、kNm ,Qmax=ql/2= 1.043.6/2 = 1.87kN(3) 按正应力强度条件选桁条直径 dmax=Mmax /Wz 将 Mmax=1.69kNm,Wz=d3/32, = 11kpa 代入上式,得:d3max 32M =3 631011321069. 1= 11.6cm因此,选择原木直径为 12cm。11.简支梁如图所示,跨长 L=2m,梁上荷载 q=10kN/m,P=200kN,材料许用应力 =160MPa,=1OOMPa,选工字钢型号。解 (1)支反力 VA=VB=210 kN,并画出弯矩图与剪力图,得:Mmax=45kNm ,Qmax=210kNm(2)由正应力强度条件选工字钢型号 WMmax /=45103/160106= 281cm3 查型钢表,选用 I22a,其 Wz= 309cm3281cm3(3)校核剪应力强度由型钢表查出 I22a的 IZ/SZ=18.9cm,d=0.75cm,代人剪应力强度条件公式:max=