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1、1例谈方程思想在初中数学中的应用例谈方程思想在初中数学中的应用江淮学校江淮学校 江卫三江卫三我们把含有未知数的等式叫方程。方程跟现实生活联系有着紧密的联系。步入初中，学生一开始就与方程接触，这种接触或多或少改变了学生的数学思维，方程问题可以让刚刚进入中学的学生以全新的观点和方式来认识数学。为什么这样说呢?在小学阶段学生一直在与具体的数字打交道，学习的内容是数学里面最直观，最基本的计算问题。到了初中他们接触到了方程，开始学习数的代替品-“字母或式” 。这种改变必然要求学生改变原有的认知模式，当然这种改变对学生是有帮助的。方程和方程思想是有区别的，方程属于知识体系，方程思想属于思维体系，方程思想是
2、对方程知识的全面升华，是充满活力的方程知识的体现。所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组） ，再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，其运用十分广泛。用算术方法解应用题，只是已知数参与运算，而未知数始终作为一个“目标”不参与运算，未知数难以其应有的作用。所以用算术方法解应用题时，算式不易列出，题目越复杂，求解就越困难，显得“道路很曲折” 。而用列方程的方法解应用题是用字母代替未知数，让它与已知数一起参与运算。这种代数求解的方法是把解题过程分为两个部分，一
3、部分是“列式” ，另一部分是“求解” 。列式时先不考虑求解的过程，只需根据问题中相等关系，平铺直叙地列出方程。因此用列方程的方法解应用题。思路简单，容易掌握，是解应用题的重要方法。下面笔者就初中数学中，有关方程思想的具体应用举例说明。1、方程思想在代数中的应用例 1 （沪科版七年级数学上册 P116）甲、乙两人都以不变的速度在环形路2上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 2min 相遇一次；如果同向而行，每隔 6min 相遇一次。已知甲比乙跑得快，甲、乙每分各跑多少圈？分析分析：本题中存在两个未知数：甲、乙两人的速度；存在两个相等关系：（1）相向而行，两人路程之和为 1 圈；（2）同向而行
4、，两人路程之差为 1 圈；解解：设甲每分跑 x 圈，乙每分跑 y 圈，根据题意，得：221 661xy xy 解这个方程组得：1 3 1 6xy 答答:甲每分跑圈，乙每分跑圈。1 31 6 例例 2 2 （2005 年安徽中考第 19 题）2004 年 12 月 28 日, 我国第一条城际铁路 合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设. 建成后, 合肥至南京的铁路运行里 程将由目前的 312km 缩短至 154km, 设计时速是现行时速的 2.5 倍, 旅客列车 运行时间将因此缩短约 3.13h. 求合宁铁路的设计时速. 解：解：设旅客列车现行速度是 xkm/h，由题意得：312154 25313x
5、x.解这个方程得：x 80经检验是原方程的根，且符合题意。x 802580200. 答：合宁铁路的设计速度是 200km/h。例例 3 3 （沪科版九年级上册基训 P24）已知，与成正比例，与12yyy1yx2y成反比例，并且当时，当时，。求与 x 的函数关系x2x 6y 3x 5y y式。分析分析：这是一个用“待定系数法”解决的函数题。关键是要确定与的函数yx解析式，而确定函数解析式的关键在于确定系数，而系数的确定就需要借kk助于解关于的方程。k解：解：与成正比例，与成反比例Q1yx2yx3 设，（，0）11yk x2 2kyx1k2k又 Q12yyy2 1kyk xx将，；，2x 6y 3
6、x 5y 代入上式得关于，的方程组:1k2k12121262 1353kkkk 解这个方程组得：120.69.6kk 函数解析式为9.60.6yxx2、方程思想在几何中的应用例例 4 4 （沪科版七年级上册基训 P88）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少 10，求这个角及其余角和补角。分析：分析：如果设这个角的度数为，那么它的余角为（） ，补角为（x90ox）180ox解：解：设这个角的度数为，根据题意，得x1809018010ooooxx解得：=50x则它的余角为：=；补角为：90ox905040ooo018018050130ooox答：答：这个角的度数为 50，余角为 40，补角为 1
7、30。用方程的思想，这类问题变得简单明了。例 5 （沪科版九年级下册 P66）如图，ABC 中，B=90，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D，AD=2，AE=1，4求 CD 的长。分析：分析：要求 CD 的长，必须知道圆的半径，而求圆的半径，必须利用 RtAOD 中，从而求出圆的半径 r，再利用在 RtABC 中，222ADODAO222ABBCAC，得出 CD 长解：解：连结 OD，易知 CD=CB，OBCBAC 切O 于点 DODAD在 RtAOD 中，由勾股定理得：222ADODAO即 2222(1)rr解得：r=1.5AB=AE+EO+OB=1+r+r=1+1.5+1.5=4设 CD 的长为 x，则 CB=x在 RtABC 中，由勾股定理得：222ABBCAC即 2224(2)xx解得：x=3答：CD 的长为 3。总之、在初中数学的教学中，教师要善于总结归纳，强化方程思想，使学生感觉用方程解决问题的优势，逐步培养和提高学生用方程思想解决问题的能力。2009-1-10EOACBD
