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1、注：资料来源于中国数学会均匀设计分会注：资料来源于中国数学会均匀设计分会沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新 生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的过程 中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法（如对 比试验设计、全面试验设计、正交试验设计等）， 已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤 新思维，新方法。中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计” 相结合，发明了一种全新的试验设计方法，这就是 均匀设计法。均匀设计法诞生于年。由中国著名数学家 方开泰教授和王元院士合作共同发明。前 言正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可 比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的均匀性受到了一定限
2、制，使试验点的代表性还不够 强，试验次数不能充分地少。均匀设计是另一种部分实施的试验设计方法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好 的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验 范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验 点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试 验结果。下面通过制药工业中的一个实例来说 明均匀试验设计方法。例1.1 ：阿魏酸的制备根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验 指标Y。阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想提高阿魏酸产量。全面交叉试验要N=73=343次，太多了。建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。 经过资料查阅，分析研究
3、，选出影响阿魏酸产量的试 验因素，确定试验因素水平为： 原料配比：1.0-3.4 吡啶总量：10-28 反应时间：0.5-3.5 确定每个因素相应的水平数为7。 如何安排试验?“方开泰，均匀设计与均匀设计表，科学出版社(1994)” 之附表 1网络地址:http:/www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesing也可以浏览如下网页：第1步： 列出试验因素水平表表 1.1.1 试验因素水平表第2步: 选择相应的均匀设计表均匀设计表格式见下，其含义为：Un(qs)均匀设计试验总次数因素水平数因素数例如:表 1.1.2:表 1.1.3:每个均匀设计表都有一个使用表，它将建议我们如
4、何选 择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少“ 试验偏差”。其中偏差为均匀性的度量值，数值小的设 计表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为：表 1.1.4:表1.1.2:第3步: 应用选择的 UD-表安排试验，设计试验方案1. 将 x1, x2和 x3放入均匀设 计表的1,和3列；x1 x2 x3 2用x1的个水平（值）替 代第一列的1到 7；1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.43. 对第二列，第三列做同样 的替代；13 1.5 19 3.0 25 1.0 10 2.5 16 0.5 22 2.0 28 3.54. 按设计的方案进行试验，得 到个结果，将其放
5、入最后一 列。表 1.1.5: 试验方案第 4步: 用回归模型匹配数据首先，考虑线性回归模型:这个结果与人们的经验不符。使用回归分析中变量筛选的方法，比如向后法，得到 推荐的模型为：然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：使用向前的变量选择法，我们发现适宜的模型：14表 1.1.6: 方差分析（ANOVA） 表状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。图1.1.1:模型中的三项，在 5%的水平下都是显著的。图 1.1.2a 匹配图图 1.1.2b 正态 Q-Q 图图 1.1.2c偏回归图16第5步: 优化 - 寻找最佳的因素水平组合表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实
6、施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* ：这里求取max的区域为：x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4。在x3* = 2.7575达到最大值 。 图 1.1.3等值线图 (x1*,x3*)在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它 比个试验点的最好值48.2%还大。18讨论:因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选x2为 其中点 x2 = 19 ml.求出的x1* = 3.4 在边界上, 我们需要扩大x1的试验上限。在x1 = 3
7、.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。在第步，一些优化算法是很有用的。混合型水平的均匀设计试验中各因素若有不同水平数，比如，其 水平数分别为q1，qk。这时应使用相应的混合均匀设计表。见“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).”之附表2每个混合水平表有一个记号，含义为：Un(q1 qk )均匀设计试验次数各定量因素 之水平数定量因素 的最大数下表是一个混合水平均匀设计表:此均匀设计表 试验总数为 12，用它可以 安排水平数为 、的 因素各一个。U12(624)此表也是混合水平均匀设计表。23它的试验数 为 12。可 以安排二个6 水平因素和 一个4水平因 素
8、的设计。考虑4个因素：平均施肥量X，分为12个水平 （ 70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114）；种子播种前浸种时间T，分为6个水平（1,2,3,4,5,6）；土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4；种子品种A，分3个A1，A2，A3； 对某农作物产量的影响。可以看出前两个为定量因素，后 两个为定性因素。例2 .1:在农业试验中如何进行试验安排？混合型因素混合型水平的均匀设计一般情况下试验中既有定量型连续变化因 素，又有定性型状态变化因素。 假设有k个定量因素X1,Xk； 这k个因素可化为k个连续变量， 其水平数分别为q1，qk。 又有t个定性因素G1
9、,Gt， 这t个定性因素分别有d1，dt个状态。 可以使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的均 匀设计表。混合因素混合水平表有如下的记号和含义：Un(q1 qk d1 dt )均匀设计试验次数各定性因素 之水平数定性因素 的最大数各定量因素 之水平数定量因素 的最大数U12(12643 2 )1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1
10、 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2 例：次试验。可以安排个水平数为12、6的定量因素，以及总数为的一个水平为4、两个水平为3和两个水平为2的定性因素的设计 。U12(12643 )表2.1.1选混合均匀设计表2.1.1 安排此试验第1列安排平均施肥量X ，分为12个水平； 第2列安排种子播种前浸 种时间T，分为6个水 平； 第3列安排土壤类型B， 分4种B1，B2，B3， B4； 第4列安排种子品种A， 分3个A1，A2，A3。试验安排及结果如表2.1.2为了进行分析，我们引进5个伪变量。它们的记 号和取
11、值如下：它们和 、 一起进行回归分析。B因素的A因素的回归方程如下:+=u不显著。需进一步考虑高阶回归项。u若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效 应和一个交互效应。这时回归方程化为解得 回归系数的 最小二乘估 计及其和 值为：+=解得非常显著回归系数的 最小二乘估 计及其和 值为：方程为:其中 1.含变量x 的两项与其它是分离的（即 可加的），最大值点在 x=100.127 。2.含变量z41 z42 的两项与其它是分离的 ，最大值点在 z41=0 z42=0，即品种3为 好。 3.含变量 z31 z32 z33 的四项与其它是 分离的，最大值点可能在z31=1 z32=0 z33=0 类
12、型为1，=6或 z31=0 z32=1 z33=0 类型为2，=6比较后知道为后者。所以得到最佳状态组合为施肥量X=100.127，浸种时间T=6，土壤类型B取2，种子品种A取3，此时最大值估计为一、表的选择,因素及水平的安排u若试验中有k个定量因素和t个定性因素时，我们从 混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的 Un(q1qkd1dt)表。u这里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt -t). 为了给误差留下自由度，其中的n最好不取等号。 u表中前k列对应k个连续变量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n个试验，得到n个结果y1，y2，yn。下面综述应注意的事项：u为了分析，首先要将定性因
13、素之状态，依 照伪变量法，将第i个因素分别化成(di-1)个 相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。u将这总共d=(d1+dt-t)个伪变量与相应的k个 连续变量X1，Xk一起进行建模分析。u为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计 表进行挑选。二、试验结果的回归建模分析如果不理想,则首先考察它们的一阶回归模型： 再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应 。显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里mn-(k+d-2)u值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此无需 考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高 次效应即可. u又因为Zij1*Zij2=0,j1j2时,因此也无需考虑 同一状态因素内的伪变量间的交互效应。u只有i1i2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即 不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。u此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互 效应。u至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项 Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了。许多产品都是混合多种成分在一起形成的。面粉水糖蔬菜汁 椰子汁盐发酵粉乳酸钙 咖啡粉 香料色素咖啡面包怎样确定各种成分的比
