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1、第一节 直线的斜率与直线的方程完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！内 容要 求ABC直线线的斜率与倾倾斜角直线线方程三年2考 高考指数:1.直线线的斜率与倾倾斜角(1)直线线的斜率计计算公式若两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，如果x1x2，那么直线线PQ的斜率为为k=_.(2)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直
2、线重合时所转过的_.范围：直线的倾斜角的取值范围是_.(3)直线的斜率与倾斜角的等量关系当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足_.最小正角03,b2.从而SABO= ab= a .故有SABO当且仅当a-3=即a=6时,(SABO)min=12,此时b= =4,此时直线l的方程为 =1,即2x+3y-12=0.方法二：由题可设直线方程为 =1(a0,b0),代入P(3,2),得 =1得ab24,从而SABO= ab12,当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时k此时直线l的方程为2x+3y-12=0.方法三：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)
3、(k0),则有A(3- ,0),B(0,2-3k),SABO= (2-3k)(3- )= 12+(-9k)+ 12+2 = (12+12)=12,当且仅当-9k= 即k=- 时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.方法四：如图所示,过P分别作x轴,y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设=PAM=BPN,显然(0, )，则SABO=SPBN+S四边形NPMO+SPMA= 33tan+6+ 22当且仅当即tan= 时,SABO取最小值12,此时直线l的斜率为- ,其方程为2x+3y-12=0.【反思感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线
4、方程的各种形式，以便简化运算.2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决.【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0;当k=0时，直线为y
5、=1，符合题意，故k0.(3)由l的方程，得A( 0),B(0,1+2k).依题意得 解得k0.S= |OA|OB|= | |1+2k| (22+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k= ,即k= ,Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.【变式备选】在某镇北偏西60且距该镇30 km处有A村，在镇东北50 km处有B村，要在公路旁修一车站C,从车站C向A、B两村修公路，问车站C修在公路的什么地方，可使费用最小？【解析】以公路为x轴，该镇为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A、B两点坐标分别为A(-15 ，15),B(25 ，25 ), 作A点关于x轴的对称点A( -15 ，-15)
6、,连结AB交x轴于C. x轴是线段AA的垂直平分线，|CA|=|CA|,|CA|+|CB|=|CA|+|CB|=|AB|，此时最短.由两点式,得令y=0, 得解得x-7.7车站应修在该镇的正西方约7.7 km处.把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离的体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】与直线方程有关的创新命题【典例】(2011安徽高考
7、)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.【规范解答】正确.例如 当x是整数时,y是无理数,(x,y)不是整点；不正确,如y=
8、过整点(1,0)；设y=kx(k0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2)，则有y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k(x1-x2)，则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y=kx知对于y=kx+b也成立，所以正确；不正确,如 当x为整数时,y不是整数,此直线不经过无穷多个整点；正确,如直线y= 只经过整点(0,0).答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有三处创新点：(1)本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；(2)考查
9、内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；(3)考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式.备 考 建 议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握决定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练.1.(2012常州模拟)若A(4，2)，B(-6，4)，C(x,- )三点共线，则实数x=_.【解析】由题意可知kAB=kAC，即 解得x=28.答案：28
10、2.(2012无锡模拟)过点P(2,-1)，在x轴上和y轴上的截距分别是a,b且满足a=3b的直线方程为_.【解析】(1)当a=3b=0时，直线过点P(2，-1)且经过原点，此时所求直线方程为y 即x+2y=0.(2)当a=3b0时，由 =1可得 =1,b=- ,a=-1，所求直线方程为x+3y+1=0.答案：x+3y+1=0或x+2y=03.(2012南通模拟)直线2x+3y+m=0在两坐标轴上的截距之和为5，则实数m的值为_.【解析】令x=0，得y 令y=0,得x由题意可得 m=-6.答案：-64.(2012连云港模拟)已知0k4,直线l1：kx-2y-2k+8=0和直线l2 ：2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_.【解析】由题意可知，直线l1 ，l2都过定点P(2，4)，直线l1与y轴的交点坐标为A(0，4-k)，直线l2与x轴交点坐标为B(2+2k2，0).作PDOB于点D，则S四边形OAPBS梯形OAPD+SDPB当k= 时，四边形的面积最小.答案：
