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1、习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数一 幂级数与罗朗级数 1 幂级数的收敛半径的特征与求法幂级数收敛半径为则1） 当时， 幂级数绝对收敛， 当时， 幂级数发散， 当时，幂级数可能收敛， 也可能发散。 2） 条件收敛收敛的点仅可出现在收敛圆周上，即3）如果幂级数在点处收敛，在点处发散，且则1 1习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数幂级数的收敛半径例1 证明:幂级数与有相同的收敛半径。 证设幂级数收敛半径为幂级数收敛半径为对每个满足则收敛， 由于由正项级数的比较判别法知绝对收敛，所以收敛圆盘2 2习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数反之， 对任意满足使得由于绝对收敛，所以即有存在正数使
2、得对一切正整数满足而由于所以收敛，即绝对收敛，所以即选取3 3习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例2 设幂级数在处条件收敛，则幂级数收敛半径分析：由于幂级数在处条件收敛，所以幂级数在处条件收敛，即幂级数在处条件收敛，所以幂级数的收敛半径为由例1可知收敛半径也为4 4习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例3求下列幂级数的收敛半径与收敛圆盘。1. 解 收敛半径收敛圆盘为5 5习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.解当时，原级数绝对收敛。当时， 原级数为由于所以原级数发散，原级数收敛半径收敛圆盘为6 6习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2. 函数展开成幂级数与罗朗级数。展开成的
3、幂级数 函数函数在圆环域展开成罗朗级数（或在处展开城幂级数7 7习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数四个重要函数幂级数展开式的8 8习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例4将下列函数在指定的处展开成幂级数1.解9 9习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.解1010习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例5将函数在下列指定圆环域内展开成罗朗级数。1.解1111习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.解1212习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数3.1313习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例6 设证明：证1414习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数二 留数与留数
4、的应用 1. 孤立奇点及其分类，极点与零点的关系设 为函数 的孤立奇点， 在 的某个去心邻域内的罗朗级数 不含有负整数次幂，或含有无限项）则称为函数的可去奇点 （极点或本性奇点）。为函数 的可去奇点或本性奇点） 当且仅当或既不存在也不是为函数 的n 级极点（极点当且仅当其中在处解析， 且（含有有限项1515习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数若 在 处解析， 则 为函数 的n 级零点，当且仅当 为函数 的n 级极点。例7为函数的级极点。分析为函数为函数的3 级零点，的9级零点，的9 级极点。从而为函数9 1616习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2. 留数的定义及留数的计算设 为函数
5、 的孤立奇点， 则其中为在某个去心邻域内的罗朗级数中的系数。 为的去心邻域内环绕正向简单闭曲线。为函数 的可去奇点，为函数 的n 级级点，1717习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数为函数 的n本性奇点， 或对高级极点用上式不易计算的， 用留数的定义（罗朗级数）计算留数。若则若 为函数 的孤立奇点，则1818习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例8 计算下列函数在指定的奇点处的留数1.在所有的有界奇点处。解的所有有界奇点为（一级极点），（二级极点），1919习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.在所有的有界奇点处。解的所有有界奇点（可去奇点）（一级极点）2020习题课（二）习题课
6、（二）复变函数复变函数3.解为的本性奇点，2121习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数3. 留数的应用利用留数计算围道积分1）设函数在有向简单闭曲线上解析， 在C 的内部仅有有限个奇点则2）设为函数的所有奇点， 则2222习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数利用留数计算实函数的积分 1）其中为由常数，经过有限次四则运算，且在有定义所得的函数。解法： 令2）其中分别为次多项式，且无实根，为位于在上半平面的所有复根 2323习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数3）其中分别为次多项式，且无实根，为位于在上半平面的所有复根2424习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例9 计算下列围道积
7、分1.解为位于在内的所有奇点， 且为可去奇点，为一级极点。2525习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.解为位于在的奇点， 且为本性奇点，2626习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数3.解为被积函数位于的奇点，为的奇点，被积函数位于2727习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例10 设在正向简单闭曲线C上及C内解析， 为的唯一一个零点，且为n 级， 已知在C的内部，证明：证由于为的唯一一个零点，且为n 级，所以且解析，2828习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例11 计算下列积分1. 解 原式2929习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2.解 被积函数的两个奇点且为二级
8、极点位于在上半复平面内，3030习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数3.解3131习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数三 共形映射 1.解析函数导数的几何意义 设在处解析， 且则为映射在处的转角，为映射在处的伸缩率。 2.几个重要的共形映射 1）平移映射将平面上的点z 沿b 的方向 平移个单位。3232习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2） 旋转映射将平面上的点z 沿坐标原点逆时针旋转个角度。3） 伸缩映射将平面上的点z 沿z 的方向将伸长（或缩短）a 倍。3. 分式线性映射1）分式线性映射为扩充复平面上的共形映射。 2）分式线性映射的三个基本性质：3333习题课（二）习题课（二
9、）复变函数复变函数保角性：在分式线性映射下， 两条曲线的夹角与对应 的像曲线的夹角在大小方向上是相同的； 保圆性：在分式线性映射下， 将圆周映射成圆周，（注 意：将直线看成半径为无穷的圆周）。 保对称性： 在分式线性映射下， 将关于圆周C的对称点映射成关于C的像的对称点。在分式线性映射下， 如果两圆弧的一个交点映射成无 穷远点， 则两圆弧所围的区域映射成角形域。 4. 两个重要的分式线性映射1）将上半复平面映射成单位圆的分式线性映射的一般形式：3434习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数2）将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式：5. 几个基本初等函数确定的共形映射 1） 在除原点的
10、复平面上每一点是共形的 在映射下， 将角形域映射成角形域将角形域映射成上半复平面将角形域映射成3535习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数沿原点及正实轴剪开的复平面。2）（一般为 在这里我们认为 在除原点与正实轴以外的复平面是解析的。 在映射下， 将沿原点与正实轴剪开的复平面映射成上半复平面3） 在复平面上(不含无穷远点)每一点是共形的3636习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数在映射下， 将带形域映射成上半复 平面4）（更一般情况为在映射下， 将上半复平面 区域映射成带形3737习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例12 映射在点的转动角为伸缩率为分析3838习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例13 分式线性映射将z平面区域映射成w 平面什么样区域？解绕点 逆时针旋转 到曲线3939习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例14 求一个分式线性映射将z平面的上半 平面映射成w平面的圆盘且满足解4040习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例15 求一个共形映射将z平面区域映射成w平面的上半平面解4141习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数例16 求一个共形映射将z平面带有割痕的带形域映射成w平面的带形域 解4242习题课（二）习题课（二）复变函数复变函数4343
