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1、 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系(不定积分 )高等数学电子教案 武汉科技学院数理系第四章 不 定 积 分第一节 不定积分的概念和性质高等数学电子教案 武汉科技学院数理系定义1 设函数F(x)与 f (x)都在区间I上有定义, 如果对于任意的xI 都有F (x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数.例如x3是 3x2在整个区间上的函数, -cosx 是 sinx的原函数一、原函数与不定积分的概念高等数学电子教案 武汉科技学院数理系下面的问题是已知原函数的存在,怎样求?定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存
2、在原函数F(x), 即对于任意的xI，都有 F (x) = f (x). 例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。高等数学电子教案 武汉科技学院数理系定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.证明: (1)因为F(x)+C=F(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的原函数(2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于G(x)-F(x)=G(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(
3、x)如果存在原函数,则所有的原函数只相差一个常数.高等数学电子教案 武汉科技学院数理系定义2 f (x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分, 记作称为积分号, f (x)为被积函数, f (x)dx为被积表达式, x为积分变量, C是积分常数注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线,在同一点它们有相互平行的切线.如果要求原函数的曲线通过某一点,则此曲线对应的原函数是唯一的.高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例1 求函数f(x)=3x2的不定积分.例2: 求解:解:高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例3 设曲线y = f (x)的切线斜率为2x, 且曲线通过点(1,2).
4、求此曲线方程.解:代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1高等数学电子教案 武汉科技学院数理系由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数.高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例4 下列各函数是同一函数的原函数吗?分析: 因为同一函数的原函数之差是一常数,我们有是同一函数的原函数.高等数学电子教案 武汉科技学院数理系所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数高等数学电子教案 武汉科技学院数理系由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的基本微分公式逆
5、写, 就得到基本积分表。二、基本积分表 例5高等数学电子教案 武汉科技学院数理系把被积函数展开成代数和的形式,然后再积分的情况是常用的方法.而被积函数都是幂函数又是不定积分中用得最多的. 初学者往往容易出错. 例如高等数学电子教案 武汉科技学院数理系(1)把求导和积分搞混了, (2)、(3)虽然分清求导和积分, 但在系数, 正负号的处理上有错误.对这类积分的计算应该先写出原函数中x的幂次(为原来的幂次加1)再把现在的幂次的倒数作为系数.例如高等数学电子教案 武汉科技学院数理系三、不定积分的性质性质1 若函数f(x)与g(x)在区间I上的原函数都存在,则性质2 若函数 f (x)在区间I上的原函数存在, 实数k0, 则推论 若fi(x)(i=1,2,.n)在公共区间I上都有原函数, 且ki为常数, 则高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例6 设p(x)=a0+a1x+.+anxn, 求p(x)dx解:例7高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例8例9高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例10例11高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例12例13
