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1、9 倒易格子与电子衍射2010.61电子衍射照片2不同入射方向的CZrO2衍射斑点 (a)111; (b)011; (c) 001; (d) 1123一、倒易格子概念及性质二、倒易球(Ewald)与衍射方向三、倒易格子解释粉晶衍射四、倒易格子与电子衍射4一、倒易格子概念及性质一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义对一点阵，用矢量(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。 空间格子引入三个新基矢(a*,b*,c*)，记为S*=S(a*,b*,c*)。 倒易格子二者之间的关系：a*a=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0 b*b=1 b*c=0c*a=0 c*b=0 c*c=1则S*称作
2、S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。52. 正倒格子的关系：a*=(bc)/V b*=(ca)/V c*=(ab)/V其中V= a (bc) 正格子的体积倒易向量的方向：a* bc平面 b* ca平面 c* ab平面倒易向量的长度(当晶体的=90时)|a*| = 1/a |b*| = 1/b |c*| = 1/c (当晶体的、为任意角度时) |a*| = bcsin/V |b*| = casin/V |c*| = absin/V 6abca=b=c=90a*b*c*|a*| = |b*| = |c*| =1/a*=*=*=90立方晶系7abca=bc=90a*b*c*|a*|
3、=|b*|=1/a; |c*|=1/c*=*=*=90四方晶系8 斜方晶系： a*，b*，c*分别与a，b，c重合，但长度互为 倒数关系。9 六方晶系时，=90，=120 则：*=*=90，*=6010a*c*b*倒易格子中点的坐标(001) (100) (010) (111)(-1-1-1)11 3. 倒易点阵的性质： 倒易点阵中任意一个向量Hhkl (倒易点阵的原点指向 倒易点的向量)： Hhkl=ha*+kb*+lc* 有： (1) Hhkl (hkl) (2) |Hhkl| = 1/dhkl即倒易向量Hhkl垂直于正点阵中的面网(hkl)，且倒易向 量的长度为面网间距的倒数。 正点阵中
4、的每一组面网相当于倒易点阵中的一个倒 易点，该点的位置在面网的法线方向，该点距离倒易 原点的距离为面网间距的倒数。12倒易格子中用向量描述点的坐标H110=a*+b* |H110|=1/d110 H110 (110)H11-1=a*+b*-c* |H11-1|=1/d11-1 H11-1 (11-1)H111=a*+b*+c* |H111|=1/d111 H111 (111)11011111-113证明 Hhkl (hkl) 并且 |Hhkl| = 1/dhkl以斜方晶系的(110) 面网，倒易格子点H110为例aba*b*H110(110) |H110| = 1/ d11014aba*b*H
5、110(110)12tg(2) = |a|/|b| = a/btg(1) = b*/a* = (1/b)/(1/a) = a/b 1 = 2故：H110 (110) 。扩展到倒易格子的任意结点，亦满足以上条件15 某斜方晶系的空间格子 (正空间) 每个结点是晶体结构中的一个相当 点。16 倒易格子 (倒空间) 每个结点对应晶体结构中的一组面网。 倒易格子中，原点到每个结点的距离对应正格子中 的一组面网，倒易向量的长度等于面网间距的倒数， 倒易向量与正格子中的面网垂直。 17 4. 利用倒易点阵表示面网间距及面网夹 角 （1）面网间距及面网夹角 根据 Hhkl=1/dhkl=ha*+kb*+lc
6、*两边取平方得：|Hhkl|2 = |1/dhkl|2 = h2a*2+k2b*2+l2c*2 +2hka*b*cos*+2klb*c*cos*+2lhc*a*cos*例如对于斜方晶系： H2= h2a*2+k2b*2+l2c*2 = h2/a2+k2/b2+l2/c2181920笔者编写的一个简单程序：根据已知晶系和晶胞 参数计算面网间距及面网夹角、晶带轴等。215.晶带定律某斜方晶系的 001晶 带及该晶带的面网 图中，面网(100) (010) (110) (1-10) (120)(1-20)均平行 于001晶向，这 些面网构成以 001为晶带轴的 晶带。 这些面网的法线方 向皆与001
7、晶带 方向垂直。 22 设晶带方向uvw ruvw=ua+vb+wc 晶面(hkl)的法线方向即倒易矢量方向，记为，ghkl=ha*+kb*+lc* 若晶面(hkl)属于uvw晶带，则有 r g = 0，即:r g = (ua+vb+wc)(ha*+kb*+lc*) = 0 所以： hu+kv+lw=0 此即晶带定律。23 同一晶带的面网的倒 易点分布在一个倒易 平面上。 满足hu+kv+lw=0 24 当 r g =0 时，同一晶带的所有倒易点分布在 一个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原 点，称之为uvw晶带的0层倒易面，记为 (uvw)*0。 当 r g N时，(为广义晶带定律), 倒
8、易矢量g 与r不垂直。这时g的端点落在非零层倒易平面 上，记为(uvw)*N 。25 0层倒 易平 面与 非零 层倒 易平 面 26 （3）求晶带轴 属于晶带uvw的任意两个不是互相平行的平 面(h1k1l1)，( h2k2l2)即可决定一个晶带，根据 晶带定律有：h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0解该联立方程可得： 即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)27 （4）已知晶带轴，求0层倒易面举例 例1. 求立方晶系（100）*0。把100代入晶带定律公式hu+kv+lw=h=0，得：该晶带的面网，其面网指数中h必等于零
9、，其中倒易距离最短(面网间距最大)的有：(010), (001)，(011)等 设O点为倒易格子原点，A点为倒易点(010)， OA=1/a28 则由面网夹角计算公式：可得: |H001|=1/a |H010|=1/a |H011|=2/a H010H001=90 H010H011=45 29 依次类推可以求出该倒易平面的所有点 。30 立方晶 系 (100)* 010031 实际上在推导倒易平面上的所有倒易点 时，只需要知道平行四边形的3个倒易点 (含倒易原点000)，即可按向量法则求出 所有其他点，见倒易格子与电子衍射一 节。32 例2. 垂直于立方晶系110方向的倒易平面 由 hu+kv
10、+lw=h+k=0，只要h和k量值相等，符 号相反，即属于该晶带，倒易距离最短和次短 的面有 (001) (1-10) (1-11)，计算得： |H001|=1/a |H1-10|=2/a |H1-11|=3/a H001H00-1=180 H001H1-10 =90 H001H1-11=54.7533立方晶系(110)* 034 立方晶系(110)* 011035衍射方程：(Bragg equation) =2 d sin二、倒易球(Ewald)与衍射方向36 1. 布拉格方程 正格子中的面网，等 间距排列，当X射线 照射时，可采用“反射” 的方式发生衍射， 光程差 = n= DBBF dh
11、klsin + dhklsin = 2dhklsin 即有：n2 dhklsin 式中的n为反射级次，可以采用虚拟面网的方式消去n， 实际采用的布拉格方程式为 2 dhklsin37倒易格子中任意一个节 点可以用向量描述为：Hhkl=ha*+kb*+lc*且Hhkl面网(hkl)|Hhkl|=1/dhkl2. 厄瓦尔德(Ewald)图解-倒易球38波长为的入射光，照射的晶体上。39在入射光的方向，画半径为 1/的圆(球)，此即Ewald球。1/40PO倒易格子点P与Ewald球相交， 即点P正好处于球面上， OP=Hhkl|Hhkl|=1/dhkl Hhkl面网(hkl) 41PO则在DP方向
12、产生衍射。 证明： |DP|=1/, |OP|=1/dhkl 虚线方向与OP垂直，即为面网 (hkl)的方向。D42图中O为倒易格子 原点，以1/为半 径作圆(球)此即 倒易球，D为圆心， AO为入射X射线 方向，P为倒易格子 中的一个倒易点， 则衍射方向为DP。 即：与倒易球相交的倒易点，满足 衍射方程，可以产生衍射。衍射的 方向为倒易球中心到倒易点的连线 延长线。43 证明： APO=90，即AP与倒易 矢量OP垂直，即与该倒易 点代表的面网的方向平行， OP为倒易格子矢量，则 |OP|=1/dhkl, 则sin = OP/AO =(1/dhkl)/(2/) = /2 dhkl 即=2dh
13、klsin结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向 为倒易中心和倒易点的连线方向。也只有落在倒 易球球面上的倒易点，才可以产生衍射。 44 图中，O为倒易格子原点，C为按半径=1/所 画出的倒易球的中心，倒易格子结点与倒易球 相交，对应的倒易向量分别为OP， 入射线方向：CO 衍射线方向：CP倒易格子、 倒易球与衍 射方向 45 3. 厄瓦尔德倒易球 及极限球 以倒易原点O为球 心，以2/为半径，作 圆（球），凡是落在 该球范围内的倒易点 ，则有可能产生衍射 ，而落在该球范围外 的倒易点，则不管晶 体怎么取向，也不可 能与倒易球相交，因 此称之为极限球。极限球内的倒易点，其倒易矢量长度 /2
14、，而极限球外的倒易点，dhkl /2。46 单斜晶系倒易格子平面举 例 47 放置上倒易球和极限球后可以发现， 极限球内的倒易点皆有可能产生衍射 效果，观察图中的H*点，处在极限球 内，但与倒易球不相交。48 假定入射线方向 不变，则倒易球 的位置不改变。 但晶体的取向可 以改变，从而带 动倒易格子转动 (倒易原点不变) ，则总可以使得 H*倒易点与倒易 球面相交从而产 生衍射效果。 同样道理，晶体 采取其它不同取 向方式后，总可 以使得极限球内 的所有倒易点皆 有机会与倒易球 相交，从而产生 衍射效果。49三、倒易格子解释粉晶衍射 图中，O为 倒易格子原 点，蓝线为 入射线方向 。倒易球与 倒易点没有 相交，故不 能产生衍射 。 观察1点和点 2。 50 由于粉末样品随机取向，即各个晶体颗粒的倒 易格子是随机分布的，则点1和点2，必有部分 颗粒的取向正好使其与倒易球相交，从而产生 衍射。51 每一个倒 易点，由 于晶体取 向不同， 该倒易点 的位置可 在图示的 蓝色圆周 移动。 在3D空间 考虑，该 点的可能 轨迹构成 一个以倒 易原点的 中心的球 体 52 点1的轨迹球与倒易球的交点分布在一个圆周 上，因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上 。 53极限球内的 任意点，皆 可与倒易点1 一样产
