高等代数重点技巧总结

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1、The Legendary Book onLinear Algebra目录第零章第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章番外话 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .将打洞进行到底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jordan 标准形总结秩不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2、. . . . . . . . 12交结数：刻画相似程度的不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . 16同时上三角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25有理标准形和交换的矩阵解题的艺术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3、 . . . . . . . 30I0番外话先说一件很囧的事。 两年前我给北京大学化学学院一年级的学弟学妹们上高数的 习题课。 开学第一次课来了三十个人，到期末的最后一次课只剩下十三个人。 虽说习 题课不管讲的好坏都拿那份钱，学生也不会拿鸡蛋西红柿拍你，但是看着来上课的人 越来越少确实对自尊是一种打击。 特别让我印象深刻的是一个相貌气质都很不错的 MM（那十三个人之一），她每次课都在下面很认真的听，很安静，整个学期她只站起 来问了三次问题，但是每一次都把我问倒了。 很显然这是对我的进一步打击。 我很无 奈的承认自己不配拿那份津贴，就转行做了本学院高等代数课的助教。 这次给我打击 的是另一个很清

4、纯的 MM。有很多次我在黑板上出了题目，然后微笑着、踱着步子显 示高深莫测的时候，她都举手表示已经做出了答案。 接下来我只能用凝固的微笑和景 仰的目光看着她在全班面前用柔柔的声音解释如何如何。 不过总的来说，我还是成功 的 Hold 住了局面，当时一个学年下来到课人数无明显下滑。习题课上多了，自己也有一些体会。 讲课跟做题是不一样的，你必须脑子里时刻 清楚自己在讲什么，接下来要讲什么，然后把它们用平缓的节奏一遍讲正确。 你讲的 语气速度快了，或者思维有了跳跃，学生一下跟不上，那么你后面的内容他们听起 来都很茫然。 当我一时不知道说什么好的时候，我会面色如常地擦擦黑板，换换粉 笔，整理一下自己的

5、思路，绝不轻易开口。 因为如果你不小心说错了话，那比没说要 糟糕一百倍：接下来你要用十句话来挽救你的错误，学生很可能就被绕晕了。 即使是 “嗯” “啊” “那么”这些口头禅，也会暴露你的思路的紊乱。高深莫测永远是 Hold、 局面的不二法宝。 我曾经开玩笑地给学生说，我讲课有一个优点，就是从来没有口头 禅。 结果大家都笑了。 我不解，然后大家异口同声的告诉我：老师，你讲课有一个口 头禅，就是“很显然”（囧）。希望我在这个文档里没有再犯这个错误 :P。本文档脱胎于以前的同名文档，经过多次修改以后与最初的版本相比已经面目全 非。 但是变薄变精炼的趋势一直没有改变。 那些武侠小说中出现的秘笈宝典，几

6、乎无 一例外都是“薄薄的一本小册子”，因为浓缩的才是精华。 本文档也照此看齐，不求 全，但求精致，通过几个专题来体现高等代数的方法和想法。 还是那句话，与其炖上 一锅大杂烩，倒不如几样精致的小菜来得有滋味。 至于纯粹为难而难，或者为收录而 收录的内容，就不在考虑之列了。文档薄一点，也是为了激发大家速成的欲望。本文档是本人心血之作，也算经过了教学的实践检验，因此我相信质量不会太糟， 但是错误恐怕仍然难以避免。欢迎大家来信指教：11将打洞进行到底之所以把这一章作为整本书的开始，是因为打洞是矩阵里面最基本最重要的技巧， 江湖上出来混的没有不知道的，所以怎样强调它的重要性也不过分。下面这个例子就 很好

7、地说明了什么是打洞。定理 1.1. 设M=() A B C D是一个方阵，其中 A 是可逆的子方阵，那么| M| = | A| | D CA1 B|结论不难记，从 D 出发顺时针走一圈就可以了。证明. 思路就是利用 A 的可逆性来打洞，干掉 B, C 之一：)(ABA B 第一行左乘以 CA1 加到第二行，1 B0 D CAC D也就是(In0 CA1 Im)( A B C D)( AB，1 B0 D CA)=两边求行列式即可。类似地，D 可逆的时候结论变成 | M | = | D | | A BD 1 C | （从 A 出发顺时针走 一圈）。打洞说白了就是一个降阶的过程。注意到如果把上式写成

8、() () 1 ()A BIn0AB=，1 I1 BC DCA0 D CAm这就很像一个分块的 LU 分解。 其实真正的 LU 分解和这个是一回事，这里就不具体 写了。如果把打洞的过程倒过来用，就是提升：定 理 1.2. 设 A 是 n m 矩阵，B 是 m n 矩阵，则 AB 和 BA 的特征多项式只差 一个因子 nm ，即m |In AB| = n |Im BA|21. 将打洞进行到底1.1. 对称矩阵的打洞只需要对 = 0 证明即可。 我们先证明 = 1 的时候结论成立，也就是 | Im AB| = | In BA| 成立。这只要在矩阵()Im BA In中分别用 Im 和 In 各打一

9、次洞就可得证：Im B= | In | | Im BA| = | Im | | In AB| A In 对于一般的 = 0，只要在等式 | Im AB| = | In BA| 中用 A/ 替换 A 即可。1.1对称矩阵的打洞打洞有很多重要的应用，特别是当 M 是对称矩阵的时候，如果你用 A 打两次洞 干掉 B 和 B 就会发现这恰好是一个合同变换：)() () (In A1 BA0In0A B= A 1 B1 B I D0Im0 DBABm特别强调的是，对称矩阵的打洞有特别重要的意义：由于 M 可以看作一个“内积”的 度量矩阵，所以两边打洞实际上就是在这个“内积”下做 Schmidt 正交化，

10、化二次型 为标准形的配方法和矩阵法都源自于此。 这里简要描述一下矩阵法，详细的叙述请查 阅教科书。定 理 1.3 (化二次型为标准形的算法). 设 A = ( aij ) 是一个 n 阶对称矩阵，现在要把 它合同为对角形。 如果 a11 = 0，那就用 a11 两次打洞合同掉第一行和第一列的其它元素，把 A 变成)(a11 0，0 然后考虑右下角的 n 1 阶的矩阵 。 如果 a11 = 0 但是某个 aii = 0，那就交换第 i 行和第 1 行，交换第 i 列和第 1 列，把 aii 变到 a11 的位置上来，然后返回上一步。 如果 A 的对角线上都是 0，但是某个 aij 不是 0，那就

11、把第 j 行加到第 i 行，第 j列加到第 i 列，这样 aii 的位置上就出现了 2aij ，然后返回上一步。这样经过有限步以后就可以把 A 变成对角形。31. 将打洞进行到底1.1. 对称矩阵的打洞这个算法说白了就是一句话：制造非零的对角元来干掉非对角元，其实就是不断 地做 Schmidt 正交化。正定矩阵是最容易化为标准形的对称矩阵，因为正定矩阵的对角元总不是 0（想 一想，为什么？ ，所以只需要第一个步骤就可以化为标准形。半正定矩阵的打洞也很） 简单，虽然对角元可能出现 0，但是我们有下面的引理：引 理 1.4. 如果半正定矩阵 A 的某个对角元是 0，那么该对角元所在的行和列所有元素

12、 都是 0。证明. 由 于 A 半 正 定，所 以 有 平 方 根 分 解 A = P P。 记 P = (v1 , v2 , . . . , vn )， 则 aij = (vi , v j )，这里的 (vi , v j ) 表示 vi 和 v j 的通常的欧式内积。 aii = 0 说明 vi = 0，从 而第 i 行第 i 列都是 0。可见半正定矩阵化为标准形本质上也只需要步骤 1，只不过对角线上遇到 0 的时 候不用打洞，自动跳过去继续考虑右下角的矩阵。接下来是引理 1.4 的两个应用：定 理 1.5. 设 A 是一个实对称矩阵，min 和 max 为 A 的最小和最大的实特征值， a

13、ii 是 A 的任一对角元，则有min aii max ，而且两个不等号只要有一个成立则 aii 所在的行和列的其它元素就必然都是 0。证明. 只要对 A + min I 和 max I A 这两个半正定矩阵应用引理 1.4 即可。定 理 1.6 (两半正定矩阵同时合同于对角形). 设 A, B 是两个 n 阶半正定矩阵，则存 在可逆矩阵 T 使得 T AT, T BT 都是对角矩阵。证明. 首先做合同变换把 A 化成标准形 (AEr 0， 0 0)这时 B 仍然是半正定的（虽然 B 也发生了变化），所以不妨从一开始就假设 A 就是如 上的标准形，并设()B11 B12B=， B12 = B2

14、1 ，B21 B22我们要在保持 A 的形状的前提下把 B 化成标准形。设正交矩阵 Q 使得()Is 0Q B22 Q =，0 041. 将打洞进行到底1.2. 正定矩阵那么用矩阵( Ir 0 0 Q)作合同变换保持 A 不变，把 B 化为形如B11 0 B = Is 00 0 0的矩阵。 注意这里已经利用了引理 1.4 的结论，由于 B 的最后一个对角元是零矩阵， 所以它的最后一行和最后一列中的矩阵都是 0。 这个时候再用 Is 打洞消去“”的部 分，这还是一个不影响 A 的合同变换，这就把 A, B 同时变成了准对角形，最后再用 一次正交变换就可以了。1.2正定矩阵正定矩阵的另一个名字是内

15、积的度量矩阵，永远不要忘记这一点。 正定矩阵几乎 所有结论都有对应的几何解释，所以只要你搞清楚这些结论的几何意义，正定矩阵其 实就是一个很简单的东东。设 v1 , v2 , . . . , vn 是 Rn 的一组基，那么矩阵( v1 , v1 ) ( v1 , v2 ) ( v1 , v n ) ( v2 , v1 ) ( v2 , v2 ) ( v2 , v n ) A= . . .( v n , v1 ) ( v n , v2 ) ( v n , v n )就是一个正定矩阵。 反过来，每一个正定矩阵都有如上的表示形式。 很显然，A 刻画 了向量组 v1 vn 的长度以及它们之间的相互夹角，所以不难想象 v1 vn 的一些几 何性质可以用 A 的代数性质来描述。反过来，如果有人问你正定矩阵的代数性质，你 也要立刻想到它对应的几何解释。举几个例子： 正定矩阵的对角元都不是零。这是显然的，因为 aii 代表 vi 的长度的平方，当然不能是零。 正定矩阵中最大的元素必然出现在对角线上。 这是因为内积满足 Schwatz 不等式 (vi , v j )2 (vi , vi )(v j , v j )，即 a2 aii a jj ，从而 aij max aii , a jj 。ij 正定矩阵的行列式的值等于 v1 , v2 , . . . ,