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1、全国大学生数学建模竞赛赛题 基本解法和特点全国大学生数学建模竞赛 贵州赛区组委会一、历年全国竞赛常用基本解法 19932005年 93A非线性交调的频率设计 拟合、规划 93B足球队排名 图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路 图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题 图论、组合数学 95A飞行管理问题 非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度 动态规划、排 队论、图论 96A最优捕鱼策略 微分方程、优化 96B节水洗衣机 非线性规划 97A零件的参数设计 非线性规划 97B截断切割的最优排列 随机模拟、图论 98A一类投资组合问题 多目标优化、非线性规 划98B灾情巡视的最佳路线
2、 图论、组合优化 99A自动化车床管理 随机优化、计算机模拟 99B钻井布局 0-1规划、图论 00A DNA序列分类 模式识别、Fisher判别、人 工神经网络 00B钢管订购和运输 组合优化、运输问题 01A血管三维重建 曲线拟合、曲面重建 01B 工交车调度问题 多目标规划 02A车灯线光源的优化 非线性规划 02B彩票问题 单目标决策 仿真模拟 03A SARS的传播 微分方程、差分方程 时间 序列 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问 题 04A奥运会临时超市网点设计 统计分析、数据 处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测 统计分
3、析、数据 处理、预测 总结 数学建模竞赛常用方法和手段主要是下面几类 ： 1.分析类 如最优捕鱼策略 SARS的传播 微分方 程 2.运筹学 图论 规划等 3.数理统计 统计分析、数据处理等 4.计算机 模式识别、Fisher判别、人工神经网 络、仿真模拟等 5.常用软件 Matlab Mathematica Lingo SAS系统等 新的发展特点 (05年前就已有反映) 1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛 题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工 计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计 算机软件，01A。问题的数据读取需要计算机 技术，如00A（大数据），01A（图象数据， 图象
4、处理的方法获得），04A（数据库数据， 数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以 算法形式给出最终结果。 2.赛题的开放性增大 解法的多样性，一道赛题 可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和 对数据处理上。二.基本解法运用案例 飞行管理问题 1问题 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区 域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内 每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其 数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区 域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要 立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发 生相撞。如果发生相撞，则应计算如何调整各 架（包括新进入的）飞机的飞行方向角，以避 免
5、碰撞。 现假设条件如下： 1).不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8 公里； 2).飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3).所有飞机的飞行速度均为每小时800公里； 4).进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区 域内飞机的距离应在60公里以上； 5).最多需考虑6架飞机； 6).不必考虑飞机离开此区域后的情况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学 模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（ 方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方 向角调整的幅度尽量小。 设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0 ），（160，160），（0，160）。记录数据为 ：(注：方向角指飞行
6、方向与x轴正向的夹角。) 3.符号说明 t表示表示时间； xi ,yi分别表示第架飞机的横纵坐标（问题 中已给出）； i表示第架飞机的飞行方向角（问题中已 给出）； dij(t)表示时刻第i架飞机与第j架飞机间的距 离； 表示飞机的飞行高度（ ）。 2.问题分析 此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方 和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小 距离不超过8km，各飞机飞行角度调整的值不超 过30为约束条件。如此得出的是一个非线性 模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。 4、模型的建立 由题意可知，目标函数是 约束条件为 dij(t)=? 其中 如何求Dij? 如果求出t, 则Dij可求出。
7、 如何求t？ 对上式求极值，即有 其中 于是本问题的一个数学模型为 是不是就可以求解了？ 引入记号： （g是由 按 构成的向量，在下面的程序中计算），则模 型变为 其中， 5、模型的求解 调用Matlab命令fmincon求解，先写两个M 函数airfun.m和airfunco.m如下： M 函数 airfun.m function f=airfun(delta) f=delta*delta;M 函数 airfunco.m在Matlab命令窗口计算如下： deltaini=zeros(1,6); vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6; options=o
8、ptimset(LargeScale,off); dt,fval=fmincon(airfun,deltaini,v lb,vub,airfunco,options); d1=dt*180/pi,fval=d1*d1 d1 =0.0000 0.0000 2.0683 -0.4896 - 0.0055 1.5611 fval =6.9547三.数学建模常用软件介绍 一般来说数学建模常用的软件有四种，分别是 ：matlab、lingo、Mathematica和SAS，它 们都可以从网上下载。 1.MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还
9、 提供了专业水平的符号计算，文字处 理，可视 化建模仿真和实时控制等功能。 其包括拥有数 百个内部函数的主包和数十种工具包.工具包又 可以分为功能性工具 包和学科工具包.功能工 具包用来扩充MATLAB的符号计算. 除内部函 数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是 可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改 或加入自己编写程序构造新的专用工具包. 2.lingo用于求解线性、非线性规划和二次规 划等问题，其中 LINGO 6.0学生版最多达 300个变量和150个约束的规划问题，其标 准版的求解能力亦在104量级以上。 LINGO是使建立和求解线性、非线性和整数 最佳化模型更快更简单更有
10、效率的综合工具 。LINGO提供强大的语言和快速的求解引擎 来阐述和求解最优化模型。 LINGO提供的所有工具和文件可使你迅速入 门和上手。LINGO使用者手册有详细的功能 定义。 3.Mathematica 是一套整合数字以 及符号运算 的数学工具软件，具有高阶的演算方法和丰富 的数学函数库和庞大的数学知识库。 Mathematica不但可以做数值计算，还提供最 优秀的可设计的符号运算。丰富的数学函数库 ，可以快速的解答微积分、线性代数、微分方 程、复变函数、数值分析、概率统计等等问题 。 Mathematica可以绘制各专业领域专业函数图 形，提供丰富的图形表示方法，结果呈现可视 化。 M
11、athematica可编排专业的科学论文期刊，让 运算与排版在同一环境下完成，提供高品质可 编辑的排版公式与表格，屏幕与打印的 自动最 佳化排版。 4.SAS是用于决策支持的大型集成信息系统， 统计分析功能是它的重要组成部分和核心功能 。 其包括许多模块，如统计分析模块、绘图模块 、质量控制模块、SAS/ETS（经济计量学和时 间序列分析模块）、SAS/OR（运筹学模块） 、SAS/FSP（快速数据处理的交互式菜单系统 模块）、SAS/AF（交互式全屏幕软件应用系 统模块）等等。 SAS有一个智能型绘图系统，不仅能绘各种统 计图，还能绘出地图。 SAS还提供了各类概率分析函数、分位数函数 、样本统计函数和随机数生成函数，使用户能 方便地实现特殊统计要求。
