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1、第3讲 机械能守恒定律及其应用(1)物体重力势能是一个相对量，其大小与参考平面的选择有关.(2)对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零.当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等.机械能守恒的条件是物体所受合力为零或合力做功为零吗？提示:(1)机械能守恒的条件绝不是合力做功等于零，更不是合力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功.(2)合力为零说明物体静止或做匀速直线运动，合力做的功为零说明物体的动能增量为零.1.(2011广州模拟)第16届亚运会于2010年11月12日至11月27日在广州举行.亚运会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图
2、所示，这些物体从被抛出到落地的过程中( )A.物体的机械能先减小后增大B.物体的机械能先增大后减小C.物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大D.物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小【解析】选D.若不考虑空气阻力的作用，这些物体被抛出后机械能守恒；若考虑空气阻力的作用，这些物体被抛出后机械能一直减小，而动能在上升的过程减小，下降的过程增加，故D正确.2.(2011攀枝花模拟)将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处,在这个过程中,下列说法中正确的是(取g=10 m/s2)( )A.重力做正功,重力势能增加1.0104 JB.重力做正功,重力势能减少1.0104 JC.重力
3、做负功,重力势能增加1.0104 JD.重力做负功,重力势能减少1.0104 J【解析】选C.由于重力的方向和物体上升的位移方向相反,故重力做负功,物体的重力势能增加.由W=-mgh=-1.0104 J得，重力势能增加1.0104 J,故C正确.3.质量为m的小球，从离地面高h处以初速度v0竖直上抛，小球能上升到离抛出点的最大高度为H，若选取该最高点位置为零势能参考位置，不计阻力，则小球落回到抛出点时的机械能是( )A.0 B.mgH C. D.mgh【解析】选A.小球在整个运动过程中只有重力做功，机械能守恒，所以小球落回到抛出点时的机械能等于小球在最高点时的机械能，即为零，故A正确.4.质量
4、为50 kg的男孩在距离河面40 m高的桥上做“蹦极跳”，未拉伸前，长度为15 m的弹性绳AB一端缚着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图甲所示，男孩从桥面下坠，达到的最低点为水面上的一点D，假定绳在整个运动过程中遵循胡克定律.不计空气阻力、男孩的身高和绳的重力(g取10 m/s2).男孩的速率v跟下坠的距离s的变化关系如图乙所示，男孩在C点时的速度最大.(1)当男孩在D点时，求绳所储存的弹性势能.(2)绳的劲度系数是多少？(3)就男孩在AB、BC、CD期间的运动，试讨论作用于男孩的力.【解析】(1)Ek=mghAD-Ep=0，所以Ep=mghAD=2104 J.(2)当v=vm=20 m
5、/s(C点为平衡位置)时，有mg=kx=k(23 m-15 m),所以k= N/m=62.5 N/m.(3)AB间仅受重力作用；BD间受重力与弹力作用，且BC间重力大于弹力，CD间弹力大于重力.重力的方向竖直向下，弹力的方向竖直向上. 一、机械能守恒条件的理解1.守恒条件只有重力、弹力做功，可以从以下三方面理解：(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量.2.几种常见情况分析(1)水平面上物体做匀速直线运动或匀速圆周运动，其机械能保持
6、不变.(2)光滑斜面上的物体沿斜面匀加速下滑或匀减速上滑时机械能守恒.若物体受摩擦力或其他力作用匀速下滑或匀速上滑，则机械能不守恒.(3)物体在竖直面内的光滑轨道上运动时，轨道支持力不做功，则机械能守恒.(4)细线悬挂的物体在竖直平面内摆动，悬线的拉力不做功，则机械能守恒.(5)抛体运动.如平抛、斜抛，不考虑空气阻力的过程中机械能守恒.(1)物体做匀速直线运动或物体所受合外力为零，不是机械能守恒的条件.(2)如果除重力、弹力外，还有其他力做功，但其他力做功之和为零，该种情况下只能说机械能不变，不能说机械能守恒.【例证1】(2011苏州模拟)如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质
7、杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法正确的是( )A.运动过程中B球机械能守恒B.运动过程中B球速度大小不变C.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变D.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化【解题指导】解答该题时应注意以下两点：(1)轻杆对小球的弹力不一定沿杆，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化.(2)通过判断B球的动能、势能的变化判断B球机械能的变化.【自主解答】选B、D.以A、B球组成的系统为研究对象，两球
8、在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒.以过O点的水平面为重力势能的参考平面，假设A球下降h，则B球上升h，此时两球的速度大小是v，由机械能守恒定律知：得v=v，说明两球做的是匀速圆周运动.B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加，故B球的机械能不守恒.由几何知识可得相等的时间内B球上升的高度不同，因此单位时间内机械能的变化量是不断改变的，故B、D正确.【规律方法】 机械能守恒判断三法(1)利用机械能的定义判断：分析动能、势能的和是否变化.如：匀速上升的物体动能不变，势能增加，机械能必然增加.(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)
9、做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.【变式训练】用平行于斜面向下的拉力F将一个物体沿斜面往下拉动后，拉力的大小等于摩擦力，则( )A.物体做匀速运动B.合外力对物体做功等于零C.物体的机械能减少D.物体的机械能不变【解析】选D.对物体受力分析可知，物体所受合力不为零，物体沿斜面向下做匀加速直线运动，A错误；物体所受的力中，重力、拉力、摩擦力对物体做功，拉力与摩擦力做的功相互抵消，重力做正功不影响机械能，故物体的机械能不变，故B、C错误，D正确.二、机械能守恒定律的表达式及
10、应用1.三种守恒表达式的比较(2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件.(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解.(5)对计算结果进行必要的讨论和说明.2.应用机械能守恒的方法步骤机械能守恒定律是一种“能能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断.【例证2】(2011菏泽模拟)(20分)如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角53，BD为半径R4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处
11、处光滑，在A点处有一质量m1 kg的小球由静止下滑，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS8 m/s，已知A点距地面的高度H10 m，B点距地面的高度h5 m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10 m/s2， cos530.6，求：(1)小球经过B点时的速度为多大？(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时受到的支持力为多大？(3)小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时速度方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中阻力所做的功.【解题指导】(1)物体从A经B、C到D点的过程中“轨道光滑”，只有重力做功，机械能应守恒.(2)物体从D点飞出落到S
12、点的过程中要经过“阻力场”，克服阻力做功，机械能减少，应用动能定理计算.【自主解答】(1)设小球经过B点时的速度大小为vB，由机械能守恒得：mg(Hh)= 0(3分)解得：vB=10 m/s(2分)(2)设小球经过C点时的速度为vC，受到的支持力为FN.由B点到C点根据机械能守恒定律得：(3分)在C点由牛顿第二定律得：FN-mg= (3分)解得：FN=43 N(2分)(3)设小球由D点到S点的过程中阻力做功为W，则由动能定理得：mgh+W= (4分)而且vD=vB=10 m/s(1分)解得:W=68 J(2分)答案：(1)10 m/s (2)43 N (3)68 J【变式训练】如图所示，倾角为
13、的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；(2)此过程中杆对B球所做的功.【解析】(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒.两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：mgh+mg(h+Lsin)=2 ，解得：v=(2)根据动能定理，对B球有W+mgh= 解得W= .答案：(1) (2) 【例证3】一个质量m0.20 kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光
14、滑竖立的圆环上的B点，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R0.50 m，弹簧的原长L00.50 m，劲度系数为 4.8 N/m，如图所示，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能Ep0.60 J.取重力加速度g10 m/s2，(弹簧处于原长时，弹性势能为零)则小球到C点时的速度vC的大小为多少？【标准解答】以弹簧和小球及地球组成的系统为研究对象，小球从B滑到C的过程中，机械能守恒，由题图分析可知小球在B点时弹簧的长度LR0.50 mL0，弹簧处于原长状态，弹性势能为零，取C点为重力势能零点.对小球从B到C，由机械能守恒定律得：代入数据得：vC=3 m/s答案：3 m
15、/s能量转化过程中的对象不清楚如图所示，U型管内装有同种液体，右管管口用盖板A密闭，两液面的高度差为h，U型管中液体总长度为4h，U型管中横截面处处相同.先拿去盖板A，液体开始流动(不计一切摩擦)，当两液面高度相平时，右侧液体下降的速度为( )【易错分析】对易错选项及错误原因具体分析如下：【正确解答】设U型管中液体单位长度的质量为m0，因为不计一切摩擦，大气压力对液体做的总功为零，所以整个液柱在下降过程中机械能守恒.当两管液面相平时，系统减少的重力势能等于系统动能的增加量，即解得v= .正确答案：D1.(2010安徽高考)伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高
16、度上的N点.如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点.这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )A.只与斜面的倾角有关B.只与斜面的长度有关C.只与下滑的高度有关D.只与物体的质量有关【解析】选C. 由题意知物体在运动过程中不受阻力，满足机械能守恒的条件，设下落的高度为H，则有mgH= ，v= ，只与高度有关，故C正确.2.(2011南京模拟)用长度为l的细绳悬挂一个质量为m的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直.放手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取作零，则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为( )【解
