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1、应用数学和力学,第?卷第?期?年?月?应用数学和力学编委会编 ? ?重庆出多层复合材料圆柱壳的非线性失稳计算周承调周建平?大连大学?国防科技大学?马?年?月?日收到?摘要本文用能量法和有限差分法分析了多层复合材料圆柱壳在轴压?静水压力及扭转等载荷作用下的非线性屈曲和后屈曲性能?本文考虑了柱壳的初始缺陷、几何非线性、材料的物理非线性?剪切模量非线性?等因素对于临界载荷的影响?同时还讨论了横向剪切效应?计算分析结果与一些实验结果比较一致?一、引言多层复 合材料薄壳的稳定性 问题是 复合材料力学 中的一个重要的研究 课题?由于此 问题所包含的几何非 线性、初始缺陷、材料的物理非 线性、横向剪切效 应
2、等各种 因素对于薄壳的屈曲和后屈曲性能的影 响是如此复杂,以致这一 问题 的求解是十分困难的【?,“? ?年代以来已经有几篇报告研究了几何非线性 对于复 合材料壳体的初始后 屈曲性能的影响 ? ?。关于物理 非线性影 响只有? ?和 ? ? ?“对于平板受轴 压问题进 行过研究?在工 作?中,作者应 用文献?所提供的方 法解出了构造上各向异性的金属薄 壳失稳问题。最近,作者用 同一方 法解出了多层 复合材料圆柱壳的非 线性屈 曲问题,并获得良好 结果?在本文 中,我们进 一步发展了这一方法,同时用 能量 法 和差分法计算了几何非线性、材料 的剪切模 量非 线性以及横向剪切变形对于柱壳屈曲性能的
3、影 响?将本文的计算结 果 与其他文献的结果以及实验结果 相比较,本文的结 果是良好的。二、基本方程式和解在一般铺设情况下,多层复合材料 柱壳的 基本方程式为【“?,?一 ?二切,二二?,功, ,?二,。,二,?叨?二?。,二,?“一切,二二功, ,?口口义? 招其中? ?,二二二二?。?,? 二二,? 。?,二,?,二二二二?。一?。?,?,二,?,?一?。?。一?,二, ,? ?,?,一?,二二?,二, 一,? ?,梦,口,留 公乡梦?周承调周建平? ?,二 二 二 二一?。?,二二,? ?。 。?,二二,一?。?,二, ,? ?, ,万二二?,?,二?,二二?二,?一?,二,在一 般情况
4、下,方程? ?中的函数很 难分 离变量,因此对方程招? ? 难以获得闭合 形式的解仁“。为了获得方 程? ?的解,作以下 假定? ?轰,?,?盖?,?二? ? ?切?切二,?功护,?二? ?即?在小挠 度假定情况下,力?二,?,和?二,都是常数,而方程? ?的右边项可以略 去。将 方程? ?代入方程? ?并对比系数 即得?、?孟?立二二二一? ?。?,孟?毒二? ?,盖一?,。,孟?息二,?。?。切二?斗一?认蕊二二二?么?,?一?。? ?孟?立二一?。? ?二,?,? 。一?。?欲斗二二一?。一?欲丢? ?二,孟?二二一?。?,?,二二,一?。?二,欲斗?。?,二?斗二二一?”? 。孟?二?
5、 ?孟?立二二二一? ?。 。?,百:鑫二+(n /R) dZ :功护一(。/R) (2 b2。一b。: ) F二 :斗,二 +(, /R) (Zb:。一boZ)F二 :斗一b:、F孟 孟二二, +(,/R)2 (b、,+b:一 Zb。 。)+(1/R)F欲二二一,:(。 /R) F护,=N二田孟立二一(n/R)ZN,t D盖2,+2(n /R)N二,二立(2、6)b:,田盆:丢二二二一(n/R)(b; :+b: :一Zb。 )+(l/R),二 :二二 +b:2 (”/R),盆一(n/R) (Zb:。一b。 , )。找斗二二 +(。 /R)3 (Zb:。一 b。: )欲斗+aZ:F轰 :斗二
6、二二一(n/R)么(Za;:+a。) F鑫:立二 +(n /R)a; I F二+Za:。 (n /R) F欲丢二:一2al。 (n /R)3 F欲卜0(2.7) (Zb:。一b。、 ) (” /R),:二委二一(” /R)3 (2bl。一b。:),二 : 丢+ b。,二 二二 二二一(n/R)(b:;+b2 2一Zb。, )+(1/R)j,孟主二 +(n /R) b: :,护一2(n/R)aZoF欲斗二二 +2(n /R)3 a: .F二 :几+a2 2F孟 主二二二一(“/R),(Za; 2+a。 )F欲二二 +(” /R) a, :F护,=o(2. 8)方程(2.5)(2.8 )可以用 能
7、量 法或者差分法求解.按照能量 法,设 挠度函数二为:二,=乙AZ一 ;5 in (nv /R)+月: e os (n夕/R)sin(,二/L)(2. 9)上述函数能够 满足边 界上田=O的条件.将函数叨代入协调方程式(2.7 )和(2.8 ),则可求得应力函数 F,为:F, = =乙(B4一。5in (二二 /L)+B;一: eos(二二 /L) )sin (。梦/R)多层复合材料圆柱壳的非线性失稳计算+(B4一、5in(袱/L)+ B“e o s(i韶/L)eos(n,/R)+(N二夕2+N,二2 ) /2一N二,xg (2. 1 0)具甲B“一。 =一夕IA2一:, B“一 : =一g二
8、 AZ, B“一、 =一川A:, B4二g玉 AZ91=(a a+b消) /(a:一刀),g二 =(b a+a消 ) /(a蓄一刀:) a=(二/L) b:,+(,/L)“(n /R)“ (b,+bZ :一Zb。 )+b: :(n /R)4 +(1 /R) (,/L)“b= (i刁L)(”/R)(二/L)“(2b2 。一b。,)+(n /R)2(Zbl 。一boZ)a= = (i二/L)a: : +(二/L)“(n /R)“ (Za,:+a。 。 )+(n /R)冶a:,刀= =2(二/L) (n/R)(、二/L)“aZ 。 +(n /R)“a, 。系统的总 势能为:H一“/2, 丁 :(、
9、N N ,+x“x,“%d”+(1/2)! :J: N二(田,)2+N, (?, +ZN一功, 切,dXd。=(二RL/4)乙d: :(i二/L) +2(d12 +Zd。) (i二/L)z (n /R)“+dZ :(n /R) +a:(i,/L) +(Za: :+a。 ) (泣二/L)“(n /R)“+al ;(n /R)(91)“ +(g生)2)一4(f二/L) (n /R)(二/L)“a: 。帕如,+(n /R)Za,。g主g二(A受一、+At。 )+ZRL乙 乙Zij(n二/RL)“ 1j.1(二/L)2 (2+j么)d,。+2(n /R)“ dZ。+a:2(二/L)2 (j二/L)+a
10、、 2 (n /R)“(,/L)“(2+j么)+a:, (n /R) (jg呈g盖 + g益夕二)+a。 。 (,/L) (j二/L) ( n /R)“(i夕主买+j夕1夕二)一。:。 (二/L)“(n /R)(“ +jz)g孟g互 +2 ijg;夕孟j一a:。 (n /R)“(二/L)以12+jZ)g二夕玉+ Z ij夕孟夕i (j一 “)一(A:,一,月:)+(被L/4)乙(二/L)Z N二+(n /R)“ N, J( A全卜,+A岌 )+(兀刀L)N二,(j/ (j名一2) )A:,_, AZ 肋。, 乙乙落一1了一 1(4n/RL)(2.11 )在上式中乙表示 j+ =奇数 时的 j项
11、的总和.取 总势能 汀对 系数AZ一:和AZ的变分 就 获得下列屈曲时的平衡方程:Q呈 AZ一,+乙Q麦 AZ,+ N二(i二/L)“ +N, (n /R)“AZ一: +N二,J.1二 K,云。、,:,一。2 2)了一1Q孟A:一乙。“,2,一1+:、二(二/:)2+、, (, /、)2,:一二二,云。续,2,_:一。 (2.1 3 )周承调周建平(i=1,2, 3,)在以上方程(2.12)和(2.13)中符号Q夏, Q璧,和 Q才为:Ql= =d:(二/L) +2(d;: +Zd。 。)(i二/L)2(n /R)2+d:(n/R)+a:(二 /L) +(Za: :+a。 。 )(二/L)2
12、(” /R)“ +a : : (” /R)(夕盖)2+(口孟)“)一4(i,/L) (n/R)以i二/L)Za :。 +(n /R)忍 a: 。 g二夕二Q才二(4/二)2(n/R) (刁L)i j(二/L)“(12 +jZ)d:。+2(n /R)“ d: . +azZ(i二/L)“(a二/L)么+a;: (二/L)2 (n/R)“(12 +j么)+a: : (可R) (19王g二+19弘g呈)+ae。 (。 /R)“(二/乙) (a二/L) (jglg二+玄gg头)一a:。(n /R)(二/L)“ ij (12 +jZ)g三夕主+2ij夕轰买一a l。(n /R)“(,/L)(“ +jZ)g
13、;g三+ Zij夕夏g夏 (12一jZ)一Qg=(s。/RL) (j)(么一jZ)一在数值计算中必 须截取 三角级 数的有限项.在 壳体屈 曲问题 中主要项不 一定是 最低次 的项,在正 交各向异性柱壳 中,所截取 的项必 需包括能表示屈曲波形特征 的主要项。求解方 程(2.5 )(2.5 )的另一数值方 法是有限差分法.在计算中本文 应用 中央差分,对于中等长度 柱壳采 用5 0个以上 结点 可获得 满意结果.现在考 虑柱壳的大挠度解和后屈曲性能.设初始缺 陷波形 与屈曲波形一致,即汤/。= =e o n st(2.14)取柱壳的屈 曲波 形为:二=二。+功lsin(m二x/L)sin(即/
14、R)+叨ZsinZ(m,/L)sinZ (n夕/R)(2.15)将上式代入变形协调方 程(2.2),求得相应的应力函数F为:F一宁石且c os协“m“x /L,cos”“叼/R+A - snt n。 (。z r二/L)sn。 (。/R)+音( N。2+N二2 ) (2. 1 6)系数t n。和”列于表1.表1 卜一;一!一一一三二一!土土二t一兰.,户一!一些-卜-工-3 l !04 1二!.:l,.4一2s一。将公式(2.15 )和(2.1 6 )代入总势能汀得到:二一矗二* L(鄂)2(分 )2 Fl叨+ FZ田,+“3?功2+尸4切、:。, ;。:、:。:+:?二:一4几l尸1 (鲁)“ +。R(篇)“(4。:+3 ,:)+。o n st(2. 1 7)其中几是初始缺陷因子:几 =1+2(面/功),系数且,A -,和F的表达 式见 文献 n.多层 复合材料圆柱壳的非线性失稳计算将 总势能 公式(2.1 7 )对参数,:和二2进 行变分,即可获得计算初始后屈曲平衡位形曲线的公式:F
