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1、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟4.1 引言4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域4.3 拉氏变换的基本性质4.4 拉普拉斯逆变换4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型4.6 系统函数（网络函数）H( s )4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性4.9 二阶谐振系统的 s 平面分析4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布4.11 线性系统的稳定性4.12 双边拉氏变换4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 4.1
2、 引言拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：（1）求解步骤得到简化；可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应；（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立起系统函数 H(s) 的概念；（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换当 满足绝对可积条
3、件时，存在傅里叶变换1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广（1）系统求解中的激励 、响应 的非零取值往往是从 时刻开始的。 下限取 是为了把 、 等也包含到积分区间中。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。若 绝对可积，则存在傅里叶变换单边拉氏变换双边拉氏变换考虑在 上乘以收敛因子 。 在 上， 只有在时才起收敛作用，且越大，收敛效果越明显。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 2. 拉氏逆变换象函数原函数第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义在算
4、子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟（三）单边拉氏变换的收敛域若存在 ，使得 时， 成立。要使 的拉氏变换存在，必须有则 平面上 的区域称为 的收敛域。0收 敛 域（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号，收敛域为整个 平面，收敛域为 右半平面第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （3
5、）随时间 成正比增长或随 成正比增长的信号必须有（4）按指数阶规律 增长的信号（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 ，不能进行拉氏变换。，收敛域为 右半平面，收敛域为第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （四）常用函数的拉氏变换整个 平面第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 4.3 拉氏变换的基本性质 （一）线性 若则（二）时域微分特性若则例1：sL- +IL(s)VL(s)_第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟（三）时域积分特性若则例：+-Ic(s)Vc(s)+ -例2：求的拉氏
6、变换。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例1：求 的拉氏变换。00（四）延时特性（时域平移）若则第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟（五）s 域平移若则例：（六）尺度变换若则例2：求的拉氏变换。 例3：书P266,4-19第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例： 已知第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （七）初值定理（八）终值定理应用条件：真分式的全部极点在 左半平面，允许在 处有一阶极点，以保证终值存在。为真分式应用条件：否则 s的多项式第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例1：求例2： ，求第四章
7、 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （九）卷积定理则时域卷积定理若s 域卷积定理（十）s 域微分与积分若则例：第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 4.4 拉普拉斯逆变换 部分分式展开法： 仅适用于 为有理分式情况 围线积分法（留数法）： 严密的数学方法部分分式展开法：的“极点”。称为分子多项式也可以表示为 A(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中, z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也称F(s)的零点。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干简单函数之
8、和， 再分别对这些简单象函数求原函数。 p1, p2, , pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高 于分子多项式(mn)， 但也有可能mn。 下面分几种具体 情况讨论F(s)分解的不同形式。 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例1：s的多项式当 时，一、二、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （1） 所有极点均为一阶实极点系数例2： 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 （2） 一阶共轭极点例3：系 数 平 衡 法第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟第四章 拉普拉斯变
9、换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟3. mn, F(s)有重极点 设其中, s=p1是F(s)的k阶极点, 由F(s)可展开为式中, 是展开式中与极点p1无关的部分。 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 k11=(s-p1)kF(s)| s=p1 可求得 ：第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例4：例5：0112例6：第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型（一）解微分方程步骤：1、利用拉氏变换的微分性质对方程两边取（单边）拉氏变换。2、求解，得到所需的S域变换式。 3、拉氏反变换得到所需的时
10、域结果。拉氏变换时域微分特性 ：若则第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟二阶常系数线性微分方程的一般形式为设f(t)是因果激励， 又已知初始条件y(0-), y(0-)， 可利用拉氏变换求解。 两边取拉氏变换， 利用单边拉氏变换 的微分性质， 得到s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+a1sY(s)-y(0-)+a2Y(s)=b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F(s)第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟整理上式为(s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y(0-)+a1y(0-)第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统
11、的 s 域分析 肖娟解：微分方程两边同时取单边拉氏变换例1：，求全响应。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例2：激励信号及起始条件分别为：求零输入、零状态响应及全响应，自由响应 ，强迫响应，暂态响应，稳态响应。解：微分方程两边同时取单边拉氏变换第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟方法一：根据电路用KCL、KVL、网孔法、节点 法等列写电路方程，再得到电路系统的微分方程, 然后 对方程取拉氏变换，得到所需的S域变换式，再经拉氏反变换得到所需的时域结果。此方法在分析电路响应时有许多优点, 但是对比较 复杂的
12、网络(多网孔、 节点), 以及对初始条件的处理（需要标准化或等效）还有许多不便之处。（二）实际电路系统的s域分析方法二： s域的网络模型运算电路法。（先将元 件和支路进行拉氏变换，）画出网络的s域模型， 再用 KCL、KVL、网孔法、节点法等列S域方程,再在s域求得 所需的S域变换式， 最后再经反变换得到所需的时域结果。例 : 书P207，例4-13；求uc(t) (自学)第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 s 域元件模型+-RIR(s)VR(s)_+IL(s)VL(s)sLsL- +IL(s)VL(s)_第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟+-Ic(s)
13、Vc(s)+ -+-IC(s)VC(s)第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例1: 电路如图所示， 激励为e(t)， 响应为i(t)， 求s域等效模 型及响应的s域方程。第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 解: s域等效模型（运算等效电路）如图所示:第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟列网孔方程: 解出 其中, Z(s)=Ls+R+1/Cs为s域等效阻抗。例2 : 书P213，例4-15，求uc(t)例3 : 书P213，例4-16第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例4 :如图电路已处于稳态, t=0时刻开关k由“1”
14、打到“2”，求输出电压u(t)。 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例5:电路如图, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V，iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟例5电路的s域网络模型第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟4.6 系统函数（网络函数 ）（一）系统函数的定义（二）系统函数的分类（三）系统函数的求法（四）系统函数的应用第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟当 时，系统零状态响应的拉氏变换 与激励的拉氏变换之比。（一）系统函数的定义4.6 系统函数（网络函数）h(t)和H(S)分别从时域和S域表征了系统的特性。h(t) H(S)系统函数第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟系统激励与响应在同一端口（二）系统函数的分类策动点函数策动点阻抗策动点导纳转移函数转移阻抗转移导纳转移电压比转移电流比激励与响应不在同一端口系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟（三）系统函数的求法p 已知微分方程：p H(S)p 已知电路原理图：p 已知信号流图：见下册书,11.6方程两边取零状态下的拉氏变换利用网络的（零状态下的）s域元件模型图，列s域
