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1、第八章：应力状态分析与强度理论应力状态分析和强度理论余 辉 应力状态分析和强度理论1 问题的提出l 低碳钢和铸铁的拉伸实验u 低碳钢的拉伸实验u 铸铁的拉伸实验 问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45 滑移线？8-1 8-1 应力状态的概念应力状态分析和强度理论l 低碳钢和铸铁的扭转实验 u 低碳钢的扭转实验 u 铸铁的扭转实验 问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面 上的应力。应力状态分析和强度理论横截面上的正应力分布横截面上的正应力分布F FN N横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表 明：同一面
2、上不同点的应力各不相同，此即明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力应力 的点的概念。的点的概念。F FS S横截面上的剪应力分布横截面上的剪应力分布2 应力的三个重要概念l 应力的点的概念 应力状态分析和强度理论l 应力的面的概念 过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同， 此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面 上的应力。l 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这 一点的应力状态。应力状态分析和强度理论应应 力力指明指明哪一个面上哪一个面上？哪一点哪一点？哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面？过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为过一点、在不同方向
3、面上应力的集合，称之为这一点的这一点的应力状态。应力状态。应力状态分析和强度理论 3 一点应力状态的描述l 单元体u 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量；l 单元体的特点应力状态分析和强度理论u 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量；l 单元体的特点u 单元体的每一个面上，应力均匀分布；u 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。4 主应力及应力状态的分类l 主应力和主平面 切应力全为零时的正应力称为主应力；应力状态分析和强度理论4 主应力及应力状态的分类l 主应力和主 平面 切应力全为零时的正应力称为主应力； 主应力所在的平面称为主平面； 主平面的外法线方向称为主方向
4、。 主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。应力状态分析和强度理论l 应力状态分类 u 单向应力状态 u 二向应力状态(平面应力状态)u 三向应力状态(空间应力状态)yxzu 简单应力状态（单向应力状态）u 复杂应力状态（二向、三向应力状态）xy（1）（2）应力状态分析和强度理论由平衡即可确定任意方向面上的 正应力和切应力。示例一：FPl/2l/2S平面应力状态分析和强度理论54 3 215 432 1123S平面FPS平面应力状态分析和强度理论示例二FPlaS应力状态分析和强度理论xzy4321S平面FPlaS应力状态分析和强度理论MzMx143FPlaSyx z4321FSy
5、应力状态分析和强度理论1 二向应力状态的实例l薄壁圆筒已知：p, D, 。 u 求x端部总压力8-2 复杂应力状态的工程实例应力状态分析和强度理论u 求xu 求t取研究对象如图。应力状态分析和强度理论可得由沿y方向的平衡方程应力状态分析和强度理论可以看出：轴向应力x 是环向应力t的一半。 对于薄壁圆筒，有：所以，可以忽略内表面受到的内压p 和外表面 受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。应力状态分析和强度理论 例 8-1 已知：蒸汽锅炉， =10mm, D=1m,p=3MPa 。解：求：三个主应力。前面已得到应力状态分析和强度理论 2 三向应力状态的实例l 铁路钢轨应力状态分析和强度理论l
6、 二向应力状态的表示l 应力状态分析 在已知过一点的某些截面上的应力 时，求出过该点的任一截面上的应 力，从而求出主应力和主平面。u 切应力的下标作用面的法线切应力的方向8-3 二向应力状态分析的解析法应力状态分析和强度理论l 二向应力状态的表示u 切应力的下标作用面的法线切应力的方向u 正负号规定_ 正应力拉为正拉为正压为负压为负应力状态分析和强度理论_ 切应力 使单元体顺时针方向转动为 正；反之为负。_ 截面的方向角由x正向逆时针转到截面的外 法线n 的正向的 角为正;反 之为负。yx应力状态分析和强度理论1 1、斜截面应力、斜截面应力: :外法 线已知单元体受任意应力x、 y、xy 、y
7、x ，求任意 截面应力 。应力状态分析和强度理论 平衡对象平衡对象用用 斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部FF 平衡方程平衡方程 FF参加平衡的量参加平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积xyxyyxxyzn xydAqn nt t应力状态分析和强度理论 -cos)cos(dAx- ydA(sin )sindA + dA(cos )sinxy + dA(sin )cosyxyxdA n nt tdAcos dAsin 应力状态分析和强度理论tdA - xdA(cos )sin-t xydA(cos )cos+ ydA(sin )cos+t yxdA(sin )sin yxdA
8、n nt tdAcos dAsin 应力状态分析和强度理论平面应力状态分析 斜截面公式应用条件：1）微体（应力均布时，非微体亦可）。2）平衡（与物性条件无关）。应力状态分析和强度理论 例题 8-2已知一点应力状态，求图 中斜面上应力。解：已知Dxy应力状态分析和强度理论1 应力圆 (莫尔圆) 方程由公式平方相加，得8-4 8-4 二向应力状态分析的图解法应力状态分析和强度理论这是以、为变量的圆的方程。R OC应力状态分析和强度理论3、应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1) 点面对应 应力圆上某 一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应 力和切应力;应力状态分析和强度理论基准相当(2)
9、 转向一致半径旋转方向与方向面 法线旋转方向一致；D点和x面是基准;应力状态分析和强度理论(2) 转向一致半径旋转方向与方 向面法线旋转方向 一致；(3) 转角两倍半径转过的角度是 方向面法线旋转角 度的两倍。应力状态分析和强度理论4 应力圆的应用l 确定主应力、主方向应力圆与横轴的交点 A1、 B1处，剪应力为零。它们 的横坐标即为主应力。从 半径CD转到CA1的角度即 为从x轴转到主平面的角 度的两倍。应力状态分析和强度理论u 主应力即为A1, B1处的正应力。圆心坐标应力圆半径应力状态分析和强度理论u 主方向应力状态分析和强度理论l 确定面内最大切应力主剪面对应于应力圆 上的G1和G2点
10、。面内 最大切应力的值等于 应力圆的半径。应力状态分析和强度理论xxAD odacxy y45xbeB El 单向应力状态的应力圆245245应力状态分析和强度理论BE xy odacbe245245xxB E应力状态分析和强度理论oa (0, )d(0,- )ADbec245245BEl 纯切应力状态的应力圆应力状态分析和强度理论O2 应力圆的画法DDRCD(x ,xy)D(y ,yx)应力状态分析和强度理论例题 8-3已知：x =80MPa, y = -40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。解：求：用应力圆求主应力和主 方向。作应力圆:由D点由D点画出应力圆应力状态
11、分析和强度理论由 D点由D点画出应力圆E应力状态分析和强度理论u 圆心坐标u 半径E应力状态分析和强度理论u 主平面从D点(x轴)逆时针转45至A1点，u 圆心坐标u 半径 E由几何关系E应力状态分析和强度理论Eu 主平面从D点(x轴)逆时针转45至 A1点，由几何关系E应力状态分析和强度理论 例 题 8- 4 某平面应力状态单元体如图 所示，设及为已知，试解：确定其主应力及主平面。(1) 解析法:已知由式(8-7), 有应力状态分析和强度理论 故得主应力为由式 (8-6) 可得主平面的 方位角, , 画出主单元体如图所示.应力状态分析和强度理论由已知条件在-坐 标系中作应力圆如图所示在图中可
12、求出u 这种y0的应力状态，在今后将经常遇到。(2) 图解法:E应力状态分析和强度理论 例题 8-5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。 (单位：MPa)解：画应力坐标系AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆在坐标系内画出点解法一：应力圆法12C2p3O20MPaBAAB4532532595150应力状态分析和强度理论主应力及主平面312C2pO20MPaBA 12pAB4532532595150应力状态分析和强度理论解法二：解析法解：建立坐标系确定求出1 2 3ABxy4532532595150ABxy4532532595150应力状态分析和强度理论l
13、三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。yxz8-5 三向应力状态简介应力状态分析和强度理论l 特 例至少有一个主应力的大小方向为已知。zxyxyyxyxyyxxz平面应力状态即为这种特例之一。应力状态分析和强度理论123 123 213三种特殊的斜面/1斜面上应力与 1无关，由23作 应力圆 I 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 /3斜面上应力与 3无关，由12作 应力圆II 3 3 2 2 1 1 /2斜面上应力与2 无关，由13作应 力圆 应力状态分析和强度理论123l 三向应力状态的应力圆IIIIII 321可以证明：与可以证明：与 1 1， 2 2， 3 3 均不平行的均不平
14、行的任一方向面上的任一方向面上的 应力位于阴影区内。应力位于阴影区内。应力状态分析和强度理论l 最大切应力IIIIII 321 max= 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：应力状态分析和强度理论l 最大、最小正应力IIIIII 321最大和最小正应力分别 为最大和最小主应力， 即：l 最大切应力 max=应力状态分析和强度理论l 单向应力状态下的胡克定律或l 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律或l 横向变形与泊松比yx8-6 8-6 广义胡克定律应力状态分析和强度理论l 广义胡克定律u 三向应力状态可看作是三组单向应力状态和 三组纯剪切的组合。u 叠加原理用叠加原理的条件：(1) 各
15、向同性材料； (2) 小变形； (3) 变形在线弹性范围内。u x方向的线应变 xx引起的部分:yxz应力状态分析和强度理论yxzu x方向的线应变 xx引起的部分:y引起的部分:z引起的部分:叠加得：应力状态分析和强度理论叠加得：同理可得：剪应变为：这六个公式即为广义胡克定律。应力状态分析和强度理论对平面应力状态有广义胡克定律建立了复杂应力状态下应力与应变之间的关系，在工程实际中有着广泛的应用。应力状态分析和强度理论例题8-5 已知: 一开槽钢块，槽内嵌入一边长为 10 mm的正方形铝块。 解：已知铝的。若不计钢块的变形，计算主应力选坐标系如图，显然求铝块的主应力。应力状态分析和强度理论由于钢块不变形，所以铝块沿x方向的线应变等于零。由式
