《逼近法的相关研究-本科毕业论文数学晁燕萍》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逼近法的相关研究-本科毕业论文数学晁燕萍（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本科毕业论文本科毕业论文题目： 逼近法的相关研究 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学 2007 级 5 班 姓名： 晁燕萍 指导教师： 许芝卉 职 称： 副教授 完成日期： 2011 年 5 月 20 日逼近法的相关研究摘 要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具. 逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就
2、泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近目 录1 引言 .12 二分逼近法 .11 . 2 二分逼近法的典型证明方式.12 . 2 二分逼近法在数学分析中的应用.23 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用.34 逐步逼近法 .41 . 4 逐步逼近法在微分方程中的应用.52 . 4 一次同余式组的逐步逼近解法.81 . 2 . 4 用剩余定理求解的方法.92 . 2 . 4 逐步逼近法.103 . 2 . 4 两种解法计算量的比较.12参考文献.1311 引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,
3、它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列以 A 为极限,其意即为用去逐步逼近常数 A.再如,从几何上看定积 nanaaa,21分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.2 二分逼近法1 . 2 二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论
4、证中的思想是：欲找一个具有某一性质的实p数,则可以从一个具有相应性质的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持P的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质P的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于p“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质.(由性质决定)PPp2）逐次二等分得到闭区间列,则所有的闭区间都具有性质P,且 mmBA ,1221BBBAAAmm(亦可写成：) mmBABABABA,332211从而得到左右夹逼数列与满足： mA mB021limlim mmmmmmmABAB3）由实数的连
5、续性得到实数,属于所有的闭区间,使满足：kk具有性质.这是由于属于所有的闭区间,被与左右夹逼,不妨形 ipk mA mB象的表示为：mmBkAm2因而, 的任意小的邻域内都包含（m 足够大）,于是kkk,mmBA ,具有,故具有性质.kk,Pkp是唯一的.事实上,若不唯一,设,且满足 iikkkk,则对任何 m, ,得到,而mmBkA,mmBkAmmAkBk,mmABkk,故,即唯一.0lim mmmABkkk2 . 2 二分逼近法在数学分析中的应用例 1 设在上连续的单调递增函数满足:,则存在ba, xfbbfaaf)(,)(,使.),(bac ccf证明 令,将二等分,分点为,11,BbA
6、a11,BA211BA 若,则命题结论成立.221111BABAf 若,则取, 221111BABAf 22111,2BABBA 若,则取.221111BABAf 2211 1,2,BABAA 逐次二等分区间,一般的对于区间,mmBA ,若,则命题结论成立;22mmmmBABAf 否则,若,则取,22mmmmBABAf 11,2 mmmmmBABBA若,则取.22mmmmBABAf 11,2, mmmm mBABAA从而得到两个夹逼数列与满足： mA mBi1221BBBAAAmm且 0lim mmmAB3 iimmmmBBfAAf,于是可知存在实数 ,使,cmBcAmm由于单增,所以,即:
7、xf mmBfcfAf mmmmBBfcfAfA令 ccfm,上述证明中,所求的数 具有的性质:,而构造的闭区间具有性cp ccfmmBA ,质,则确定为P,mmmmBBfAAf,从而得到夹逼数列将 “逼出”. ,mA mBc在不同问题的论证中性质与相应的是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实pP际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.3 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用
8、逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例 2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明 设是完备的度量空间,：XX 是压缩映射,dXX,T即对于任意,不等式 Xyx,yxdTyTxd,成立,其中是满足不等式的常数.10先证映射有不动点.构造 X 中的序列.任取,并令T nxXx 0,0102 01201,xTTxxxTTxTTxxTxxn nn2 , 1n我们证明是中的基本点列,事实上, nxX00101021,TxxdxxdTxTxdxxd002 2112132,TxxdxxdTxTxdxxd4 一般地,可以证明001
9、,Txxdxxdn nn, 3 , 2 , 1n于是,对自然数 n 与,由广义三角不等式得kn nnknknknknnknxxdxxdxxdxxd,12110021,Txxdnknkn00,1Txxdknn 00,1Txxdn 对任何给定的,只有 n 充分大,则001,1xxdn因而是柯西序列. nx又因是完备的,柯西序列是收敛的,X nx即存在,使,Xx xxn n lim再由于是压缩映射,必为连续映射,T于是.在中,令,得到nnTxx1nxxT 即是不动点.x 再证唯一性.若不唯一,设不动点,则,xxx xxT 于是存在使10 xxdxTxTdxxd,则必有,故,则有唯一的不动点.0, x
10、xdxxT上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.4 逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及5在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题-袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.1 . 4 逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程.1） 现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想.首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 dxyxfyyxx0,0的连续解
