经济数学基础应用题

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1、经济数学基础应用题经济数学基础应用题1.设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,qqqqC625. 0100)(2求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少10qq 时，平均成本最小？解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， qqqC625. 0100)(2625. 0100)(qqqC65 . 0)(qqC所以，1851061025. 0100)10(2C， 5 .1861025. 010100)10(C116105 . 0)10(C（2）令 ，得（舍去） 025. 0100)(2qqC20q20q因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当

2、2020qq 时，平均成本最小 2.某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 q=1000-10p（q 为需求量，p 为价格） 。试求： 1）成本函数，收入函数；2）产量为多少吨时利润最大？解 1）成本函数 C（q）=60q+2000.因为 q=1000-10p，即 p=100-，q101所以收入函数 R（q）=p q=（100-）q=100q-q1012 101q（2）因为利润函数 L（q）=R（q）-C（q）=100q-（60q+2000）2 101q=40q-2000 且(q)=（40q-2000） =40-0.2q2 1

3、01qL2 101q令（q）=0，即 40-0.2q=0，得 q200,它是 L（q）的最大值点，即当产量为 200L 吨时利润最大。 3.设某工厂生产某产品的固定成本为 50000 元，每生产一个单位产品，成本增 加 100 元，又已知需求函数 q=2000-4p，其中 p 为价格，q 为产量。这种产品在 市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润。 解：C（p）=50000+100q=50000+100（2000-4p）=250000-400p R(p)=pq=p（2000-4p）=2000p-4 利润函数 L（p）=R（p）-C（p）=2400p-42p -250000，且另（

4、p）=2400-8p=0 得 p=300，该问题确实存在最大值，所以，2pL当价格为 p=300 元时，利润最大。最大利润 L（300）=2400300-4-2300 250000=11000（元） 4.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元） ，单位销 售价格为 p = 14-0.01q（元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润 是多少 解：由已知收入函数 201. 014)01. 014(qqqqqpR利润函数 22202. 0201001. 042001. 014qqqqqqCRL于是得到 令，解出唯一驻点qL04. 010004

5、. 010qL250q因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大且最大利润为（元） 1230125020250025002. 02025010)250(2L5.某厂每天生产某种产品 q 件的成本函数为 C（q）=0.5+36q+9800（元）.为2q 使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为（q）=0.5q+36+（q0）Cqqc)( q9800（q）=（0.5q+36+）=0.5-Cq980029800 q另（q）=0，即 0.5-=0，得=140，=-140（舍去）C29800 q1q2q=140 是（q）在其定义域内的唯一驻点，且

6、该问题确实存在最小值。所以1qC=140 是平均成本函数（q）的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量1qC应为 140 件，此时的平均成本为（140）=0.5140+36+=176（元/件）C14098006. 设某产品的固定成本为 36（万元） ，且边际成本为（万元/百402)(qqC 台） 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平 均成本达到最低 解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为= 100（万元） 64d)402(qqC642)40(qq 又 =qcqqC qCx 00d)( )(qqq36402 qq3640令 ， 解得0361)(

7、2 qqC6q所以当时可使平均成本达到最小6q7.生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为=100-( )8C qq( )R q 2q（万元/百台） ，其中 q 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时 的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？ 解：= (100 2q) 8q =100 10q 令，得 q = ( )( )( )L qR qC q( )0L q 10（百台） 又 q = 10 是 L(q)的唯一驻点，故 q = 10 是 L(q)的最大值点，即当 产量为 10（百台）时，利润最大. 又 12121010( ) d(100 10 ) dLL qqqq 20)510

8、0(12102qq即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 8. .已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定34)(qqCq 成本为 18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 qqqCd)34()(223qqc当= 0 时，C(0) = 18，得 c =18，即 C()= qq18322 qq又平均成本函数为 令 ， 解得qqqqCqA1832)()(0182)(2qqA= 3 (百台) 所以当 q= 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为 q(万元/百台) 9. .设生产某产品的总成本函数为 9318332)3(A(万元)，其中 q 为产量

9、，单位：百吨销售 q 百吨时的边际收入为qqC 3)( （万元/百吨） ，求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的qqR215)( 产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润1)( qC令，得 q = 7 ( )( )( ) 142L qR qC qq0)( qL 由 q= 7 为利润函数 L(q)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时 利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润 改变量为（万元）87287)14(d)214(qqqqL1126498491 即当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利

10、润将减少 1 万元 10.已知某产品的边际成本（q）=2（元/件） ，固定成本为 0，边际收入C （元/件） ，求：（1）产量为多少时利润最大？（2）在最大利qqR02. 012)( 润产量的基础上再生产 50 件，利润将发生什么变化？ 解：（1）因为边际利润=12-0.02q-2=10-0.02q( )( )( )L qR qC q令，得 q=500. q=500 是唯一驻点，而该题确实存在最大值点，即当产0)( qL 量为 500 件时利润最大。 （2）当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500-525=-25（元）5505002550500)01. 010(d)02. 010(qqqqL 即产量由 500 件增加至 550 件时，利润将减少 25 元。11. 已知某厂生产 q 件产品的成本为 C（q）=250+20q+（万元）.为使平均102q成本最低，应生产多少件产品？解：因为 =1020250)()(q qqqcqC)1020250()(q qqC1012502q令，即=0，得=50，=-50（舍去）0)(qC1012502q1q2q=50 是在其定义域内的唯一驻点，所以，=50 是的最小值点，即1q)(qC1q)(qC 要使平均成本最少，应生产 50 件产品。