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1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考考点点 3 33 3 直直线线、平平面面垂垂直直的的判判定定及及其其性性质质一一、选选择择题题1.(2015浙江高考文科 T7)如图,斜线段 AB 与平面 所成的角为 60,B 为斜足,平面 上的动点 P 满足PAB=30,则点 P 的轨迹是 ( )A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断 .【解析】选 C.由题可知,当 P 点运动时,在空间中满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥 ,用一
2、个与圆锥高成 60角的平面截圆锥 ,所得图形为椭圆 .二、解答题二、解答题2 2 （2015四川高考文科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母,F G H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论（III）证明：DF 平面BEGGDCBH FFEDCA B圆学子梦想 铸金字品牌【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1
3、)由展开图可知，F在B的上方，GC在的上方，HD在的上方，如图HGFEDCA B（II）连接,AH AC CH BE BG EG，如上图因为四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形，所以/ /BECH，/ /BGAH又因为,BE BG 平面BEG，且,CH AH 平面BEG所以/ /CH平面BEG，/ /AH平面BEG又因为,CH AH 平面ACH，且CHAHH所以平面BEG/ /平面ACH（III）连接,DF HF CF，交点坐标如下图，取,DH DC中点分别为,J K，连接,EJ JG JM KB KN KGKJNMHGFEDCA B圆学子梦想 铸金字品牌因为,J M K N分别为,DH
4、 HF DC FC中点所以/ / /DFJMKN设正方体棱长为2a，则5EJGJBKGKa所以三角形,JEG KBN为等腰三角形，所以,JMEG KNBG那么,DFEG DFBG又因为,EG BG 平面BEG，且EGBGG所以DF 平面BEG。ABCEF O3.(2015北京高考理科 T17)(14 分)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形 ,平面 AEF平面 EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O 为 EF 的中点.(1)求证:AOBE.(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值.(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值.【解题指南】(1)要证 AO
5、EB,只需证明 AO平面 EBCF.(2)建立空间直角坐标系 ,利用向量法求二面角余弦值 .(3)将 BE平面 AOC 转化为 BEOC,再利用数量积为 0,解出 a.【解析】(1)因为AEF 是等边三角形 ,O 为 EF 的中点,所以 AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB,交线 EF,AO平面 AEF,所以 AO平面 EBCF.因为 BE平面 EBCF,所以 AOBE.圆学子梦想 铸金字品牌ABCxF O yzE(2)取 BC 的中点 D,连接 OD.如图分别以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,则 ， ， (0,0, 3 )Aa( ,0,0)E a(2,2 3
6、3 ,0)Ba( ,0,3 ),AEaa ，(2,2 33 ,3 )ABaa 设平面 ABE 的法向量 n1=(x,y,z),则，11302(2 33 )30nAEaxaznABxa yaz 令 得 ，所以 。1z 32 33132 3xaya 1( 3, 1,1)n 平面 AEF 的法向量 。2(0,1,0)n 所以 。12 12 1215cos,5|5 1n nn nnn 因为二面角 F-AE-B 为钝二面角，所以余弦值为 。5 5（3）由（1）知 。因为 ，所以 。AOEFCB 平面BEEFCB 平面AOEB要使平面 AOC，只需 。BE BEOC因为 ， ，EB(2,2 33 ,0)a
7、a ( 2,2 33 ,0)OCa 所以 ，即 ，242(2 33 )0EB OCaa 231080aa解得（舍） 或 。2a 4 3a 4. (2015北京高考文科 T18)(14 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB平面ABC,VAB 为等边三角形 ,ACBC 且 AC=BC=,O,M 分别为 AB,VA 的中点.2圆学子梦想 铸金字品牌(1)求证:VB平面 MOC.(2)求证:平面 MOC平面 VAB.(3)求三棱锥 V-ABC 的体积.ABCOMV【解题指南】(1)只需证明 MOVB.(2)只需证明 OC平面 VAB.(3)变换顶点,把 C 看作顶点,CO 看作是高.【解析
8、】(1)因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OMVB.又因为 OM平面 MOC,VB平面 MOC,所以 VB平面 MOC.(2)因为 AC=BC,O 为 AB 中点,所以 OCAB.因为平面 VAB平面 ABC,交线 AB,OC平面 ABC,所以 OC平面 VAB.因为 OC平面 MOC,所以平面 MOC平面 VAB.(3)由(2)知 OC 为三棱锥 C-VAB 的高,因为 ACBC 且 AC=BC=,所以 OC=1,AB=2.2因为VAB 为等边三角形 ,所以 SVAB=2=.1 233。133 133VABCC VABVV 5.(2015广东高考理科 T18)如图,三角形 PD
9、C 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.(2)求二面角 P-AD-C 的正切值.圆学子梦想 铸金字品牌(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 .【解题指南】(1)可先证线面垂直 ,PE平面 ABCD,进而得到线线垂直 .(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决.【解析】（1）证明：因为 PDPC且点E为CD的中点，所以 PEDC，又平面PDC 平 面AB
10、CD，且平面PDC 平面ABCDCD，PE 平面PDC，所以 PE 平面ABCD，又FG 平面ABCD，所以PEFG；（2）因为ABCD是矩形，所以ADDC，又平面PDC 平面ABCD，且平面PDC 平面ABCDCD，AD 平面ABCD，所以AD 平面PCD，又CD、PD 平面PDC，所以ADDC，ADPD，所以PDC即为二面角PADC的平面角，在Rt PDE中，4PD ，132DEAB，227PEPDDE，所以7tan3PEPDCDE即二面角PADC的正切值为7 3；（3）如下图所示，连接AC，因为2AFFB，2CGGB即2AFCG FBGB，所以/ /ACFG，所以PAC为直线PA与直线F
11、G所成角或其补角，在PAC中，225PAPDAD，223 5ACADCD，PABCDEFG圆学子梦想 铸金字品牌由余弦定理可得22222253 549 5cos2252 5 3 5PAACPCPACPA AC ，所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为9 5 256. (2015广东高考文科 T18)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面 PDA.(2)证明:BCPD.(3)求点 C 到平面 PDA 的距离.【解题指南】(1)由四边形 CD 是长方形可证 CD,进而可证 C平面D.(2)先证 CCD,再证 C平
12、面 DC,进而可证 CD.(3)取 CD 的中点 ,连接 和 ,先证 平面 CD,再设点 C 到平面 D 的距离为 h,利用 V三棱锥 C-D=V三棱锥 -CD可得 h 的值,即得点 C 到平面 D 的距离.【解析】(1)因为四边形 CD 是长方形,所以 CD,因为 C平面 D,D平面 D,所以 C平面 D.(2)因为四边形 CD 是长方形,所以 CCD,因为平面 DC平面 CD,平面 DC平面 CD=CD,C平面 CD,PABCDEFG圆学子梦想 铸金字品牌所以 C平面 DC,因为 D平面 DC,所以 CD.(3)取 CD 的中点 ,连接 和 ,因为 D=C,所以 CD,在 RtD 中, ,
13、22DD 22437因为平面 DC平面 CD,平面 DC平面 CD=CD,平面 DC,所以 平面 CD,由(2)知:C平面 DC,由(1)知:CD,所以 D平面 DC,因为 D平面 DC,所以 DD,设点 C 到平面 D 的距离为 h,因为 V三棱锥 C-D=V三棱锥 -CD,所以 SDh= SCD,1313即,CDD13 673 72 123 42ShSA A 所以点 C 到平面 D 的距离是.3 7 27. （2015安徽高考文科 T19）如图，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，.1,1,2,60PAABACBACo(1)求三棱锥 P-ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存
14、在点 M，使得 ACBM，并求的值。PM MC圆学子梦想 铸金字品牌【解题指南】根据三棱锥的体积公式和线面垂直关系及平行线段成比例进行解答。【解析】（1）由题意可得，013.sin6022ABCSAB AC:由 PA平面 ABC ，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高，又 PA=1，所以所求三棱锥的体积为.13.36ABCVSPA:(2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC,，垂足为 N，在平面 PAC 内，过嗲按 N 作 MN/PA 交 PC于点 M，连接 BM，由 PA平面 ABC 知 PAAC,所以，MNAC,由于,所以 AC平BNMNN面 MBN，又平面 MBN，所以 ACBM,BM 在直角三角形 BAN 中，AN=,所以 NC=AC-AN=，由 MN/PA，1.cos2ABBAC3 2得=,PM MC1 3AN NC8. (2015浙江高考理科 T17)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面 ABC 的射影为 BC
