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1、第七章 一阶电路2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；l 重点3. 稳态分量、暂态分量求解；1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点：1. 动态电路7.1 动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsK+uCUsRCi(t = 0)K接通电源后很长时间，电容充 电完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi(t
2、 )前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化(1) t = 0与t = 0的概念认为换路在 t=0时刻进行0 换路前一瞬间0 换路后一瞬间3. 电路的初始条件初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值000tf(t)L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律
3、成立的条件。注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。求初始值的步骤:1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)；2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。3. 画0+等效电路。4. 由0+电路求所需各变量的0+值。b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. 换路后的电路取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元 件初始储能所产生的电压和电流。1. RC电路
4、的零输入响应已知 uC (0)=U0特征根特征方程RCp+1=0则uR= Ri零输入响应iK(t=0)+uRC+uCR代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令 =RC , 称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续 函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短电压初值一定：R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小放电时间长U0tuc0 小 大C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大物理含义工
5、程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 （3）能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：uCR+C例已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合 后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输 入响应问题，有：i3K3+ uC265Fi2i1+ uC45Fi1t 0等效电路分流得：2. RL电
6、路的零输入响应特征方程 Lp+R=0特征根 代入初始值 i(0+)= I0A= i(0+)= I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续 函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电慢 大 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短物理含义时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R电流初值i(0)一定：（3）能量关系 电感不断释放能量被电
7、阻吸收,直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：iL+uLR小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数RC电路 = RC , RL电路 = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+uR C+uCRuC (0
8、)=07.3 一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程解答形式为：1. RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐 次方 程特 解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解-USuCuC“USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续 函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充
9、电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存在电容中。例t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电 容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。解50010F+-100VK+uCi(1) 这是一个RC电路零状 态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC80V2. RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+uR L+uLR已知iL(0)=0，电路方程为：tuL UStiL00例1t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。解这是一个RL电路零状态响 应问题，
10、先化简电路，有 ：iLK+uL2HR8010A200300iL+uL2H10A Reqt0例2t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端 电压。解这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有： iLK+uL2H102A105+ut0iL+uL2HUSReq+7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加 激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+uR C+uCR解答为 uC(t) = uC + uC“uC (0)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1. 全响应全响应稳态解 uC = US暂态解uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值
11、定A2. 全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC“-USU0暂态解uCUS稳态解U0uc全解 tuc0全响应 = 强制分量(稳态解) + 自由分量(暂态解)（1） 着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰iK(t=0)US+uR C+uCRuC (0)=U0iK(t=0)US+uR C+uCR =uC (0)=0+uC (0)=U0C+uCiK(t=0)+uRR全响应= 零状态响应 + 零输入响应零状态响应零输入响应(2). 着眼于因果关系便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0例1t=0时 ,开关K打开，求t0后的iL、uL解这是一个RL电
12、路全响应问 题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8零输入响应：零状态响应：全响应：例2t=0时 ,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端 的电压。解这是一个RC电路全响应 问题，有：+10V 1A1+uC1+u1稳态分量：全响应：A=10+24V 1A1+uC1+u13. 三要素法分析一阶电路分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t的稳态电路求解1A2例113F+ -uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。解 tuc2(V)0.6670例2t=0时 ,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2解三要素为： iL +20V0.5H55+10Vi2i1应用三要素公式三要素为：+20V2A55+10Vi2i10等效电路例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。解三要素为：+1H0.25F5 2 S10Vi例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能t = 0 时合k1 , t =0.2s时合k2求两次换路后的电感电流i(t)。0 0.2s解(0 t 0.2s)( t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262
