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1、柱坐标及球坐标下导热微分方程的 推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率 ，比热容 c 和密度 均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体 中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析， 那么在 d 时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于 微元体热力学能的增加，即 导
2、入与导出微元体的净热量（）微元体内热源的发热量（）微元体中 热力学能 的增加（） 下面分别计算式中、 三项： 在 d 时间内，沿 r 轴方向：dzdrdqrrdzdrdrtddzdrdqrrtrdzddrdrtrrddrdrdddrrrrrdrr)( 1在 d 时间内，沿 轴方向： drdzdt rt rqdrdzdq11dzddrdt rddd)1( 2在 d 时间内，沿 z 轴方向：drdrdztztqdrdrdqzzzzdzddrdztrzzdzdzzzzzdzz)( 3将 r、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=+123在 d 时间内，微元体中内热源的发热量为 = dz
3、drrdrdqv在 d 时间内，微元体中热力学能的增量为=dzdrdrdtc联立 I，III，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12zt zt rrtrrrrqtcv 2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。 在 d 时间内，沿 r 方向导入和导出微元体的净热量 ：dddrdrtrrrdrrtqdddrqdrrrrrdrrrrr)sin(sin22 且1在 d 时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：dddrdtdt rqdzrdrdqdd)sin1(sin1 且2在 d 时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：dddrdt
4、dt rqddrdrqdd)sin(1sin 且3将 r、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=+123在 d 时间内，微元体中内热源的发热量为 = dddrdrqvsin2在 d 时间内，微元体中热力学能的增量为=dddrdrtcsin2 联立 I，II，III 可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：)sin(sin1)(sin1)(12222 2 t rt rtrrrqtcv3.总结得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使 我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况 就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体， 选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或 圆球） ，采用柱坐标系或球坐标系更为方便。参考文献1.传热学（第六版） 章熙民 朱彤 中国建筑工业出版社工科数学分析 哈尔滨工业大学数学系分析教研室 高等教育出版社 2.
