《高考数学第一章集合单元质量评估》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学第一章集合单元质量评估(36页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 集合与常用逻辑用语(120分钟,150分) 一、选择题(每小题5分,共60分)1.集合M=1,2,3,4的真子集的个数是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)17【解析】选B.真子集的个数为2n-1=24-1=15.2.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U中有18个元素,AB .设集合 (AB)有x个元素,则x的取值范围是( )(A)3x8,且xN (B)2x8,且xN(C)8x12,且xN(D)10x15,且xN【解析】选A.应用韦恩图可得,当集合AB中有1个元素时,(AB)中有3个元素;当集合AB中有6个元素时,(AB)中有8个元素,即得3x8,且xN,故应选
2、A.3.已知集合M=x| 0,N=x|x=3m2+1,mR,则MN=( )(A) (B)x|x1(C)x|x1 (D)x|x1或x0【解析】选C.由于集合M: 故M=x|x1或x0,又集合N=x|x1,MN=x|x1.x(x-1)30x-10,4.下列命题为真的是( )(A)所有的素数都是奇数(B)对每一个无理数x,x2也是无理数(C)存在一个实数x,使x2+2x+3=0(D)有些整数只有两个正因数【解析】选D.选项A可以通过举反例“2” 说明其为假命题,选项B显然为假命题,选项C中方程在实数范围内无解,选项D为真命题.5.已知命题p,q,若p且q为真命题,则必有( )(A)p真q真 (B)p
3、假q假(C)p真q假 (D)p假q真【解析】选A.6.若集合M=0,1,2,N=(x,y)x-2y+10且x-2y-10,x,yM,则N中元素的个数为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)2【解析】选C.N的元素是x-2y+10x-2y-100x2,xN0y2,yN所表示的平面区域内的整数点,如图阴影部分,整数点为(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)共4个.7.对于集合M,N,定义M-N=x|xM,且x N,M N=(M-N)(N-M).设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-2x,xR,则A B=( )(A)(- ,0(B)- ,0)(C)(-,- )0,+)(D)(-,
4、- (0,+)【解析】选C.由题意知:A=- ,+),B=(-,0),A-B=0,+),B-A=(-,- ).A B=(A-B)(B-A)=0,+)(-,- ).8.方程组 的解(x,y)的集合是( )(A)(5,4) (B)5,-4(C)(-5,4) (D)(5,-4)【解析】选D.将x=5,y=-4代入后适合方程组.由于方程组的解为实数,因此解的集合为(5,-4).故选D.x+y=1x2-y2=99.下列各题中的M与P表示同一集合的是( )(A)M=xR|x2+0.01=0,P=x|x2=0(B)M=(x,y)|y=x2+1,xR,P=(x,y)|x=y2+1,yR(C)M=y|y=t2+
5、1,tR,P=t|t=(y-1)2+1,yR(D)M=x|x=2k,kZ,P=x|x=4k+2,kZ【解析】选C.对于选项A,M= ,P=0;对于选项B,集合M表示的是以(0,1)为顶点,开口向上的抛物线,而集合P表示的是以(1,0)为顶点,开口向右的抛物线,因此MP;对于选项C,M=y|y1=1,+),P=t|t1=1,+),M=P.对于选项D,有P M.10.已知A=x|x-2|3,B=x|x2+(1-a)x-a0,若B A,则实数a的取值范围是( )(A)-1a5 (B)-1a5(C)-1a5 (D)-1a5【解析】选A.A=x|-1x5,由x2+(1-a)x-a0,得(x+1)(x-a
6、)0;当a-1时,B=x|ax-1 A;当a=-1时,B= A;当a-1时,B=x|-1xa,又B A,则a5.11.若不等式|x-1|a成立的充分条件是0x4,则实数a的取值范围是( )(A)3,+) (B)1,+)(C)(-,3 (D)(-,1【解析】选A.不等式|x-1|a(a0)的解集为x|1-ax1+a,由题意知: ,解得a3.1-a01+a412.设集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ,则( )(A)M=N (B)M N(C)M N (D)MN=【解析】选B.方法一:x= = (kZ),M=,- , , , , , ,.x= = (kZ),N=,- ,0, , , ,1,
7、.M N.方法二:将集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ转换为集合M=y|y=4x=2k+1,kZ,N=y|y=4x=k+2,kZ.显然M N,M N.二、填空题(每小题5分,共20分)13.设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0,若MN=N,则所有满足条件的a的集合是_.【解析】由MN=N得N M,由M=x|x2-2x-3=0=-1,3知N= 或N=-1或N=3.当N= 时,ax-1=0无解,a=0,当N=-1时,由x= =-1得a=-1,当N=3时,由x= =3得a= ,满足条件的a的集合为-1,0, .答案:-1,0, 14.如果y=ax2+bx+c经过(0,-6)
8、点,且当-3x1时,y0,则a=_,b=_,c=_.【解析】将(0,-6)代入得c=-6,又知-3,1为方程ax2+bx-6=0的两根得-3+1=- ,-31= ,a=2,b=4.答案:2 4 -615.设关于x的不等式ax+b0的解集为(1,+),则关于x的不等式 0的解集为_.【解析】ax+b0解为x1,a0且a+b=0, 0等价于a(x+1)(x-1)(x-6)0解集为(-1,1)(6,+).答案:(-1,1)(6,+)16.p:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),q:曲线F(x,y)+G(x,y)=0(为常数)过点P(x0,y0),则p是q的_.【解析】由
9、已知得F(x0,y0)=0且G(x0,y0)=0,所以F(x0,y0)+G(x0,y0)=0,因此p是q的充分条件.若点P(x0,y0)在曲线F(x,y)+G(x,y)=0上,但不一定是曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0的交点,故不是必要条件.因此,p是q的充分而不必要条件.答案:充分而不必要条件三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(10分)已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR,xR.(1)若A中只有一个元素,求a的值;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.【解析】讨论方程ax2+2x+1=0的实数根的情况,从而确定a的取值范围.(1)当a=0时,原方程变为2x+1=
10、0,x=- ,符合题意;当a0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,=4-4a=0时,即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意.所以a=0或a=1时,原方程只有一个解,即A中只有一个元素.(2)A中至多含有一个元素,即A中有一个元素或A中没有元素.当=4-4a0,即a1时,原方程无实数解.由(1)知,当a=0或a1时,A中至多有一个元素.18.(12分)已知集合A=x|x2-2x-80,B=x|x2-(2m-3)x+m2-3m0,mR.(1)若AB=2,4,求实数m的值;(2)设全集为R,若A B,求实数m的取值范围.【解析】由x2-2x-80,得-2x4,A=x|-2x4,由x2-(
11、2m-3)x+m2-3m0,得(x-m)(x-m+3)0,m-3xm,B=x|m-3xm.(1)AB=2,4, ,m=5.(2) B=x|xm-3或xm,若A B,则有m-2或m-34,m7或m-2.m-3=2m419.(12分)已知集合A=(x,y)|x2+mx-y+2=0和B=(x,y)|x-y+1=0,0x2,如果AB ,求实数m的取值范围.【解析】由 得x2+(m-1)x+1=0 AB ,方程在区间0,2上至少有一个实数解.x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0x2)首先,由=(m-1)2-40,解得:m3或m-1.当m3时,由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=1知方程只有负根,
12、不符合要求;当m-1时,由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10,知方程有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间0,1,从而方程至少有一个根在0,2内.综上所述,所求m的取值范围是(-,-1.20.(12分)解关于x的不等式|ax-1|+a-11ax0的解集为xxb.(1)求a、b的值;(2)解关于x的不等式x2-b(a+c)x+4c0.【解析】(1)由题意知a0且1,b是方程ax2-3x+2=0的根,a=1.又1b= ,b=2.(2)不等式可化为x2-2(c+1)x+4c0,即(x-2c)(x-2)0.当2c2,即c1时,不等式的解集为xx2c;当2c=2,即c=1时,不等式的解集为xxR
13、,x2;当2c2或x1时,不等式的解集为xx2c;当c=1时,不等式的解集为xxR,x2;当c2或x2c.22.(12分)已知an是等差数列,d是公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn.设集合A=(an, )|nN*,B=(x,y)| -y2=1,x,yR.试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;(2)AB中至多有1个元素;(3)当a10时,一定有AB .【解析】(1)正确.在等差数列an中,Sn= (a1+an), = (a1+an).这表明点(an, )的坐标适合方程y= (a1+x),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.(2)正确.(x,y)(AB),则(x,y)中的坐标x和y应是方程组y= x+ a1-y2=1的解.解方程组,消去y,得2a1x+ =-4 当a1=0时,方程无解,此时AB= ;当a10时,方程只有1个解x= ,此时方程组也只有1组解.x=y= ,故上述方程组至多有1组解.AB至多有1个元素.(3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n-1)