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1、第一章 集合与常用逻辑用语（120分钟，150分） 一、选择题（每小题5分，共60分）1.集合M=1，2，3，4的真子集的个数是（ ）（A）14 （B）15 （C）16 （D）17【解析】选B.真子集的个数为2n-1=24-1=15.2.已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U中有18个元素，AB .设集合 （AB）有x个元素，则x的取值范围是( )（A）3x8,且xN （B）2x8,且xN（C）8x12,且xN（D）10x15,且xN【解析】选A.应用韦恩图可得，当集合AB中有1个元素时，（AB）中有3个元素；当集合AB中有6个元素时，（AB）中有8个元素，即得3x8，且xN,故应选
2、A.3.已知集合M=x| 0，N=x|x=3m2+1,mR,则MN=( )（A） （B）x|x1（C）x|x1 （D）x|x1或x0【解析】选C.由于集合M： 故M=x|x1或x0,又集合N=x|x1,MN=x|x1.x(x-1)30x-10，4.下列命题为真的是( )（A）所有的素数都是奇数（B）对每一个无理数x,x2也是无理数（C）存在一个实数x，使x2+2x+3=0（D）有些整数只有两个正因数【解析】选D.选项A可以通过举反例“2” 说明其为假命题，选项B显然为假命题，选项C中方程在实数范围内无解，选项D为真命题.5.已知命题p,q，若p且q为真命题,则必有( )（A）p真q真 （B）p
3、假q假（C）p真q假 （D）p假q真【解析】选A.6.若集合M=0,1,2,N=(x,y)x-2y+10且x-2y-10,x,yM,则N中元素的个数为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)2【解析】选C.N的元素是x-2y+10x-2y-100x2，xN0y2，yN所表示的平面区域内的整数点,如图阴影部分,整数点为(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)共4个.7.对于集合M，N，定义M-N=x|xM,且x N，M N=（M-N）（N-M）.设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-2x,xR，则A B=（ ）（A）（- ，0（B）- ，0）（C）（-,- )0,+)（D）（-,
4、- (0,+)【解析】选C.由题意知：A=- ，+),B=(-,0),A-B=0,+),B-A=(-,- ).A B=(A-B)（B-A）=0,+)（-,- ）.8.方程组 的解（x,y）的集合是( )（A）（5，4） （B）5，-4（C）（-5，4） （D）（5，-4）【解析】选D.将x=5,y=-4代入后适合方程组.由于方程组的解为实数，因此解的集合为(5,-4).故选D.x+y=1x2-y2=99.下列各题中的M与P表示同一集合的是( )（A）M=xR|x2+0.01=0,P=x|x2=0（B）M=(x,y)|y=x2+1,xR,P=(x,y)|x=y2+1,yR（C）M=y|y=t2+
5、1,tR,P=t|t=(y-1)2+1,yR（D）M=x|x=2k,kZ,P=x|x=4k+2,kZ【解析】选C.对于选项A，M= ,P=0;对于选项B，集合M表示的是以（0，1）为顶点，开口向上的抛物线，而集合P表示的是以（1，0）为顶点，开口向右的抛物线，因此MP；对于选项C，M=y|y1=1,+),P=t|t1=1,+),M=P.对于选项D，有P M.10.已知A=x|x-2|3,B=x|x2+(1-a)x-a0,若B A,则实数a的取值范围是( )（A）-1a5 （B）-1a5（C）-1a5 （D）-1a5【解析】选A.A=x|-1x5,由x2+(1-a)x-a0,得（x+1）(x-a
6、)0;当a-1时，B=x|ax-1 A;当a=-1时，B= A;当a-1时，B=x|-1xa,又B A,则a5.11.若不等式|x-1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是( )（A）3，+) （B）1,+)（C）(-,3 （D）(-,1【解析】选A.不等式|x-1|a(a0)的解集为x|1-ax1+a，由题意知： ,解得a3.1-a01+a412.设集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ,则( )（A）M=N （B）M N（C）M N （D）MN=【解析】选B.方法一：x= = (kZ),M=,- , , , , , ,.x= = (kZ),N=,- ,0, , , ,1,
7、.M N.方法二：将集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ转换为集合M=y|y=4x=2k+1,kZ,N=y|y=4x=k+2,kZ.显然M N,M N.二、填空题（每小题5分，共20分）13.设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0,若MN=N,则所有满足条件的a的集合是_.【解析】由MN=N得N M，由M=x|x2-2x-3=0=-1,3知N= 或N=-1或N=3.当N= 时,ax-1=0无解,a=0,当N=-1时，由x= =-1得a=-1,当N=3时，由x= =3得a= ,满足条件的a的集合为-1，0， .答案：-1,0, 14.如果y=ax2+bx+c经过(0,-6)
8、点，且当-3x1时，y0，则a=_,b=_,c=_.【解析】将（0,-6）代入得c=-6,又知-3,1为方程ax2+bx-6=0的两根得-3+1=- ,-31= ,a=2,b=4.答案：2 4 -615.设关于x的不等式ax+b0的解集为（1，+）,则关于x的不等式 0的解集为_.【解析】ax+b0解为x1，a0且a+b=0， 0等价于a(x+1)(x-1)(x-6)0解集为(-1,1)(6,+).答案：(-1,1)(6,+)16.p:两曲线F（x,y）=0和G（x,y）=0相交于点P（x0,y0），q:曲线F(x,y)+G(x,y)=0（为常数）过点P（x0,y0），则p是q的_.【解析】由
9、已知得F（x0,y0）=0且G（x0,y0）=0，所以F(x0,y0)+G(x0,y0)=0,因此p是q的充分条件.若点P(x0,y0)在曲线F（x,y）+G(x,y)=0上，但不一定是曲线F（x,y)=0与G（x,y）=0的交点，故不是必要条件.因此,p是q的充分而不必要条件.答案：充分而不必要条件三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（10分）已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR,xR.(1)若A中只有一个元素，求a的值;(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【解析】讨论方程ax2+2x+1=0的实数根的情况，从而确定a的取值范围.（1）当a=0时，原方程变为2x+1=
10、0，x=- ,符合题意；当a0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，=4-4a=0时，即a=1时，原方程的解为x=-1，符合题意.所以a=0或a=1时，原方程只有一个解，即A中只有一个元素.(2)A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素.当=4-4a0，即a1时，原方程无实数解.由（1）知，当a=0或a1时，A中至多有一个元素.18.（12分）已知集合A=x|x2-2x-80，B=x|x2-(2m-3)x+m2-3m0，mR.（1）若AB=2,4，求实数m的值；（2）设全集为R，若A B，求实数m的取值范围.【解析】由x2-2x-80，得-2x4,A=x|-2x4,由x2-(
11、2m-3)x+m2-3m0,得(x-m)(x-m+3)0,m-3xm,B=x|m-3xm.(1)AB=2,4, ，m=5.(2) B=x|xm-3或xm,若A B,则有m-2或m-34,m7或m-2.m-3=2m419.（12分）已知集合A=(x,y)|x2+mx-y+2=0和B=(x,y)|x-y+1=0,0x2，如果AB ,求实数m的取值范围.【解析】由 得x2+(m-1)x+1=0 AB ,方程在区间0,2上至少有一个实数解.x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0x2)首先，由=（m-1）2-40,解得：m3或m-1.当m3时，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=1知方程只有负根，
12、不符合要求；当m-1时，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10，知方程有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间0，1，从而方程至少有一个根在0，2内.综上所述，所求m的取值范围是（-,-1.20.（12分）解关于x的不等式|ax-1|+a-11ax0的解集为xxb.(1)求a、b的值;(2)解关于x的不等式x2-b(a+c)x+4c0.【解析】(1)由题意知a0且1,b是方程ax2-3x+2=0的根,a=1.又1b= ,b=2.(2)不等式可化为x2-2(c+1)x+4c0,即(x-2c)(x-2)0.当2c2,即c1时,不等式的解集为xx2c;当2c=2,即c=1时,不等式的解集为xxR
13、,x2;当2c2或x1时,不等式的解集为xx2c;当c=1时,不等式的解集为xxR,x2;当c2或x2c.22.（12分）已知an是等差数列，d是公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn.设集合A=（an, ）|nN*,B=(x,y)| -y2=1,x,yR.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）AB中至多有1个元素；（3）当a10时，一定有AB .【解析】(1)正确.在等差数列an中，Sn= (a1+an), = (a1+an).这表明点（an, ）的坐标适合方程y= (a1+x),于是点（an, ）均在直线y= x+ a1上.（2）正确.（x,y）(AB),则（x,y)中的坐标x和y应是方程组y= x+ a1-y2=1的解.解方程组，消去y,得2a1x+ =-4 当a1=0时，方程无解，此时AB= ;当a10时，方程只有1个解x= ，此时方程组也只有1组解.x=y= ，故上述方程组至多有1组解.AB至多有1个元素.(3)不正确.取a1=1,d=1，对一切的xN*,有an=a1+(n-1)
