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1、引言引言随着当今时代的进步与发展，数学也在跟随着时代的步伐向前迈进. 四元数矩阵在数学及其它学科领域的理论研究中有着广泛的应用，是四元数体上重要定理，它在矩阵的学习过程中占有很重要的地位. 四元数矩阵的理论对于进一步的研究数学，对于对后续课程的学习起着举足轻重的作用. 四元数矩阵的相关理论比较繁杂，又分生出各种层次的概念，对于本文的主要研究问题并不局限于四数元矩阵的表面，而是把这一部分进行深入的推广. 四元数的背景与定义是最基本的讨论，要想真正理解四元数就要从它的产生和发展入手，四元数体就是发展中产生的外延，并且发展成主要的内容，所以对它的定义有必要深入介绍，. 四在重要的理论基础四元数矩阵是
2、发展到现所以着重进行描述元数矩阵的理论在各个方面的应用都比较广泛，特别是在物理学和数学上联系密切.我们通过运用四元数矩阵的各理论研究可以把矩阵中的基础性的内容转化为更为代数的解决方式，比如四元数矩阵的特征值、Jordan 标准形、奇异值分解以及四元数矩阵的正定性四元数矩阵方程.本课题的研究目的：经过对四元数矩阵的多角度、全面性、多层次的认识，使我们对四元数矩阵更加了解，了解它的定义及背景以及定理证明，在实践中更加熟练的使用它 ，这也让我们明白它所具有独特性和重要性，在我们数学学科中的非同一般的位置. 能够运用四元数矩阵的理论解决数学学习中遇到的有关于矩阵的一些基本问题.本课题的研究过程：研究四
3、元数的背景、意义及定义，接着讨论四元数体上的定义以及定理，最后对四元数矩阵理论进行推广.1.1.四元数的发展四元数的发展1.11.1 背景背景四元数的发现离不开爱尔兰数学家哈密尔顿，是他对四元数进行了开创性 的数学定义. 四元数有它本身的独特性，也就是最有意思的一面，在数学学科 中乘法交换律是公认的基础原则，但对四元数却是无约束的存在，所以四元数 有它的独特魅力. 也就是说，四元数是复数的不能交换延伸. 假如把四元数的 集合研究成多维实数空间的话，四元数就表示为一个四维空间，相当于复数为 二维空间.四元数是除环(除法环）的一个事例,除了不包含乘法的交换律以外， 除法环与域是类似的. 尤其是，乘
4、法的结合律一直存在、非零元素一直是唯一 的逆元素. 四元数表示成一个在实数上的四维结合代数（实际上是除法代数） ， 并且包括复数，但是不和复数形成结合代数.四元数（及其实数和复数）仅仅是 有限维的实数结合除法代数. 四元数的不可交换性通常致使一系列使人意外的 结论，比如四元数的 阶多项式可以有大于个不同的根.nn 四元数是由哈密尔顿在 1843 年爱尔兰展现的. 那是他正探究扩展复数到更 高的维次（复数可看成平面上的点）,他无法做到三维空间的事例，但是四维就 产生四元数. 依据哈密顿记述，他在 10 月 16 日和他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时一下子想到. 随后哈
5、密顿马上把这2221ijk 个方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现在称为金雀花桥 Broom Bridge）.这个方程舍弃了交换律，是那是一个极端的想法（当时还没有发现向 量和矩阵）.不仅如此，哈密顿还发现了向量的内外积. 于是，他把四元数打造成一个有序的四重实数：一个纯量（）和向量（）的结合. 假如两abicjdk个纯量部为零的四元数相乘，得到的纯量部就是一开始的两个向量部的纯量积 的负值，然而向量部就是向量积的值，但是它们的重要性一直有待挖掘.对于四元数的研究，由于它的广泛性，所以存在大量的实例对它的推广， 但总体概括来说有两部分的内容：一方面它是复矩阵代数的扩大，就如
6、实剖析 发展到复分析那样充满活力和朝气；另一方面它来自许多其他学科工程的应用 背景.从 1843 年英国数学家 Hamilton 建立四元数理论入手，其最开始的目标是 为考虑空间矢量找到近似办理平面题目中使用的复数方式. 但因为那是数学器 材的局限，四元数最开始只是在刚体定位问题中得到一些相对比较简单的应用， 未能解决工程技术中的实际问题，所以，它的优越性那时还未能够表现出来， 在一个世纪中并未得到什么发展，更不用说在实际工程中的应用. 从 20 世纪中 期以来，人们把复平面推行到四维空间后，察觉使用四元数和四元数矩阵能够 解决实际中的许多问题.于是关于四元数和四元数矩阵的研究又被无数学者推到
7、 高潮，成为大家不断进行信息发掘的热点问题.1.21.2 含义含义对于四元数的辩论很对人对哈密顿都是嗤之以鼻，四元数在开始的地位低 入谷底，以为它经不过时间的推敲. 但是在 20 世纪 40 年代以后，很多科学家 从迷雾中走出来，不在把它单纯的局限于物理学方面，大家对哈密顿发现的四 元数有了全新的认识，就是在代数方面的影响. 这样的事情也发生在几何学中，在非欧几何还没发现前，几何学也是陷入了泥潭中，是非欧几何让它重新焕发 了光彩.四元数的独特之处就是任性的不满足于乘法交换律，也是首个被发现的 这样的数学目标. 于是代数系统就发生了日新月异的变化，实数和复数不在孤 单，而是形成了框架和组合. 任
8、何事情都不是简单得来的，是经过大量的探究 得来的，约两百多种的代数学是日思夜想的心血.四元数经过低估，经过实践的 洗礼又上升到高峰，已经在数学和物理方面得到普遍的认可，而且成为向量代 数、向量分析和线性结合代数理论的开始. 与其说四元数是数学中的概念，倒不如说它是物理学中的光辉，当刚体力 学不断完善和发展，刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题与四元数 居然完美契合，并且与旋转矩阵的运算与单位四元数的运算也是大同小异，所 以物理学中很多应用都使用了四元数的概念和推广，四元数不再是空洞的理论， 变成了有血有肉的丰富理论和实践体系. 1970 年以后，世界慢慢步入计算机时 代，学科间就不断进行
9、了整合，由于计算机的丰富性，所以很多以前不被理解 和重视的理论又迎来了它们的春天，但是四元数也有它自身的局限性，四元数 矩阵右特征值存在无限性，然而左特征值又存在不确定性，这些都阻碍了四元 数的发展，并且在计算方面四元数矩阵也是繁琐的，所以四元数的研究的也是 充满了困难.2.2.四元数的定义与定理四元数的定义与定理2.12.1 四元数四元数定义定义 2.1.12.1.111：四元数是简单的超复数.复数是由实数加上虚数单位，i组成，构成，并且它们有下面的类似的三个虚数单位四元数都是由实数加之, ,i j k联系：， ，都是和的2221ijk 0001ijk每一个四元数1, , i jk，即是四元
10、数一般可表示为，其中是实数.线性组合abkcjdi, , ,a b c d关于自身的几何含义可以理解为一种旋转，此中 旋转表示轴与, ,i j kiX轴相交平面中轴正向向轴正向的旋转，旋转表示轴与轴相交平面YXYjZX 中轴正向向轴正向的旋转，旋转代表轴与轴相交平面中轴正向向ZXkYZY轴正向的旋转，逐一表示旋转的反向旋转.Z,ijk , ,i j k2.22.2 四元数体四元数体第一个非交换的体是 W.R.Hamilton 在 1843 年给出的，叫做实四元数体， 在同构意义下其矩阵形式可表述为 CH,这里是复数域，是的共轭复数. 因此，实四元数体是上的二阶全矩CHC阵环的子体. 当然，这里
11、需要验证集合关于矩阵加、乘运算是一个体. 例如，H若, 即，则容易证明非奇异，且0 A0A.1221AH 设 是实数域，记，1000101,010100iiijkii这里是虚数单位，则i.RdcbadkcjbiaH,定义定义 2.2.12.2.111设是一个体，命K, ,Z KaK axxaxK 叫做体的中心.K命题命题 2.2.12.2.111体的中心是它的一个子域；特别地，.K Z KRHZ)(定义定义 2.2.22.2.211一个域叫做形式实域，如果在中关系式仅当FF210ni ia时成立.01,2,3,iatn命题命题 2.2.22.2.211设是一个形式数域，则F , , ,FQab
12、icjdk a b c dF所示的关于加、乘运算是一个非交换体.FQ定理定理 2.2.12.2.111设是一个域，则所示的F, , ,FQabicjdk a b c dF关于相应的加、乘运算是上的一个四元数体的充分且必要条件是 F 是一个FQF形式数域. 命题命题 2.2.32.2.311设是一个形式实域，则.FFQZF)(定理定理 2.2.22.2.211设都是形式实域，则的充分且必要条件是12,F F 12FFQQ.12FF定义定义 2.2.32.2.311由有理数域所嵌入的四元数体叫做有理四元数体.定理定理 2.2.32.2.311有理四元数体是最小的四元数体.证：证：设是任意的一个四元
13、数体，因，则包含一个与有理数FQ0FchQFQ域同构的子域,显然. 但是有理四元数体与同构，因而存在有理四0F0FFQ 0FQ元数体到的单射，故知它是最小的四元数体.FQ3.3.四元数矩阵的一系列理论研究四元数矩阵的一系列理论研究3.13.1 四元数矩阵的特征值四元数矩阵的特征值定义定义 3.1.13.1.133设 可中心化 , 则 的弱特征多项式 在复数域 AA f（其它代数闭域上也一样）上的 个根称为 的特征根. 设, 若存在CnARH非零向量 使得 , 则称为 的左 ( 右 ) 特征值 , X00()AXX AXX0A若既为 的左特征值又为 的右特征值 , 则称 为 的特征值. 0AA0
14、A定理定理 3.1.13.1.133 设 可中心化 , ,则下列等价 :A0C(I) 为 的特征根 ;0A(II) 为 的特征根 ;0CA(III) 为的右特征值 ;0A(IV) 为 的重特征多项式的根.0A推理推理 1 133设,则下列等价 :0,n n RAHC(I) 为 的特征根 ;0A(II)为 的右特征值 ;0A(III) 为 的重特征多项式的根 .0A推论推论 2 233设 可中心化 , , 则下列等价 :A0R(I)为 的特征根 ;0A(II)为 的右特征值 ;0A(III为 的左特征值 ;0A(IV) 为 的特征值 .0A注注 1 1 易知矩阵的右特征值不一定为左特征值 , 反
15、之 , 左特征值也不一定为右特 征值. 注注 2 2 任意四元数矩阵一定存在复右特征值, 但不一定存在复左特征值 , 因此左 特征值不是相似不变量.例如 取，一介矩阵，则只有一个左特征值.()AijAij最小多项式与弱特征多项式的根之间的联系最小多项式与弱特征多项式的根之间的联系定理定理 3.1.23.1.277设 可中心化 , 为的 ,为 的弱特A( )qA最小多项式( )fA征多项式 , 则(I) 当不是的极大子域时 , 则，在 上的根一致 , 即ARRH( )q( )fC含有 的所有特征根 .( )qA(II) 当是的极大子域时 , 则存在一个代数闭域，使得在ARRH3C( )q( )q中的根与在中的根一致 , 即 在上的特征根或者为的3C( )f3CA3C0( )q根 , 或者其共轭为的根(也可能，同为的根).0( )q00( )q证明证明 (I) 设不是 的极大子域 .ARRH当为的子域时 , 易见 = , =, 此时 实际上就是实数ARRHARRAHRHA域 上的矩阵 ,显然命题成立 .R当不是的子域时 , 由的重行列式等于的复表示矩阵的行列式 , ARRHAACA即的证明知实际上是 最小
