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1、数量关系 第七章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 点, 线, 面基本方法 坐标法; 向量法坐标, 方程（组）空间解析几何与向量代数 17.1 向量及其运算一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影 2既有大小 又有方向的量叫做向量 v 向量 向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量,记作AB 向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示v 向量的表示法 一、向量概念3如果向量a和b的大小相 等 且方向相同 则说向量a 和b是相等的 记为ab 相等的
2、向量经过平移后可以完全重合 向量的相等 与起点无关的向量 称为自由向量 简称向量 自由向量 4向量的模向量的大小叫做向量的模 单位向量模等于1的向量叫做单位向量 零向量零向量的起点与终点重合 它的方向可 以看作是任意的 5向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a与b平行 记作a/b 零向量认为是与任何向量都平行 6共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时 它 们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 设有k(k3)个向量 当把它们的起点放在同 一点时 如果k个终点和公共起点在一个平面上 就称这k个向量共面 7二、向量的线性运
3、算设有两个向量a与b 平移向量 使b的起点与a 的终点重合 则从a的起点到b的终点的向量c称为 向量a与b的和 记作ab 即cab1.向量的加法 cab三角形法则平行四边形法则 8向量的加法的运算规律(1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)9向量的减法向量b与a的差规定为bab(a) 负向量三角不等式|ab|a|b|ab|a|b| 等号在b与a同向或反向时成立 与向量a的模相同而方向相反 的向量叫做a的负向量 记为a 10当0时 |a|0 即a为零向量向量a与实数的乘积记作a 规定a是一 个向量 它的模|a|a| 它的方向当0时与 a相同 当0时与a相反 2.向量与数的乘法 当1
4、时 有(1)a a 当1时 有1aa 11(1)结合律 (a)(a)()a(2)分配律 ()aaa(ab)ab 向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化 于是a|a|ea 设a0 则向量 是与a同方向的单位向量 记为ea 12例1 形对角线的交点 于是解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以 13例设的三边三边中点分别为 D、E、F 试用表示并证明证ABCDEF14定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,15“ ”则例1. 设 M 为解:ABC
5、D 对角线的交点,已知 b a , b0 a , b 同向 a , b 反向ab 16给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了 一条数轴Ox并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系 点P实数x实数x称为轴上点P的坐标 v 数轴与点的坐标 17说明：三、空间直角坐标系 v 空间直角坐标系 y轴z轴原点x轴在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空 间直角坐标系 称为Oxyz坐标系 (2)数轴的的正向通常符合 右手规则(1)通常把x轴和y轴配置在 水平面上 而z轴则是
6、铅垂线18在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定 一个平面 这种平面称为坐标面 坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面 yOz面和zOx面卦限坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 分别用字母I 、II、III、IV等表示 19v 向量的坐标分解式 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有20 上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系任给向量r 存在点M及xi、yj、zk 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z) 有序数x、y、z也称为点M的坐标 记为M(x y z) 向量 称
7、为点M关于原点O的向径 21坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的 特征 例如 点M在yOz面上 则x0 点M在zOx面上的点 y0 点M在xOy面上的点 z0 点M在x轴上 则yz0 点M在y轴上,有zx0 点M在z轴上的点 有xy0 点M为原点 则xyz0v坐标轴上及坐标面上点的特征22四、利用坐标作向量的线性运算 设则平行向量对应坐标成比例:23例2其中a(2 1 2) b(1 1 2). 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x2a3b y3a5b 以a、b的坐标表示式代入 即得 x2(2 1 2)3(1 1 2) (7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2) (11 2 16
8、) 24解 例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数1 这就是点M的坐标 由于 25说明: 由得定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式:261. 向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影 27例4. 求证以证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点28例5. 在 z 轴上求与两点等距解: 设该点为解得故所求点为及思考:(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 29提示:(1) 设动点为利
9、用得(2) 设动点为利用得且例6. 已知两点和解:求302. 方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦. 记作31方向余弦的性质:32例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解:计算向量33例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 343.向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴 再过点M作与u轴垂直的平面
10、交u轴于点M 则向量 Prjur或(r)u 35向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条 坐标轴上的投影 即axPrjxa ayPrjya azPrjza 性质3 (a)u(a)u (即Prju(a)Prjua)性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prju(ab)PrjuaPrjub) 性质1 (a)u|a|cos (即Prjua|a|cos) 其中为向量与u轴的夹角 v 投影的性质 36解: 因例. 设求向量在x 轴上的投影及在y轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为37练习1设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平382. 已知一个向量的终点为它在x轴、y轴上的投影为求此向量起点A的坐标。解答提示：设答案：39作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 1940
