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1、 陕西理工学院学年论文第 1 页 共 9 页-矩阵求最大公因式（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业10级102班，陕西 汉中 723100） 指导老师： 摘要摘要 特征函数是一个非常重要的概念及其工具，在概率研究中起到非常重要的作用，本文将总结特征函数的定义，性质及其在概率中的应用。 关键词关键词 特征函数；极限；随机变量；随机分布1 1 引言引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面描述随机 变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变 量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义
2、、性质出发, 介绍如何用 特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布, 并在随机变量的基本性质引导下, 讨论并阐述特征 函数的各种应用. 特征函数也是概率论中研究极限定理的强有力的工具。在概率论和数理统计中, 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函 数的一系列应用. 2 2 特征函数特征函数 2.12.1 特征函数的定义特征函数的定义设X 是一个随机变量，称, t +,)()(itxeEt 为X 的特征函数.因为， 所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.1itxe)(itxeE当离散随机变量X 的分布列为, k=1,2,3,.则X 的
3、特征函数)(kkxXPp为, t +.kitxpetk)(当连续随机变量X的密度函数为 ,则X 的特征函数为)(xp， t +.dxxpetkitx)()(2.22.2 特征函数的性质特征函数的性质性质性质 1 1 令令的特征函数分别为且与相互独立，那么的特征函数1,212( ),( ),tt1212为.12( )( )( )ttt陕西理工学院学年论文第 2 页 共 9 页证明 设是两个相互独立的随机变量，则的特征函数1,21,2中的与也相互独立.12 12( ),( )itittEetEe1ite2ite由数学期望的性质可得121212() 12( )()( )( ),itititititt
4、EeE eeEeEett故性质 1 得证.性质性质 2 2 令随机变量存在有 n 阶矩，那么的特征函数可以微分 n 次，且若则( ) t,kn(0).kkki E证明 根据假定故下式中在积分号下对 t 求导().kkitxkkitx kdei x exdt( ),kx dF x n 次，于是对，有0kn( )( )()kkkitxkkitti x e p x dxi Ee 令 t=0，即.(0)()kkki E性质性质 3 3 若是特征函数，则（1）， （2）（3）也是特征函( ) t() t2( ) ,t( )()ntnN数.证明 （1）若是随机变量的特征函数，那么可以看作是随机变量（）的特
5、征( ) t() t函数.（2）若与独立同分布，其特征函数为，那么是随机变量12( ) t2( )( ) ()ttt的特征函数.12（3）若独立同分布，其特征函数为，那么是随机变量12,m ( ) t( )nt的特征函数.12m性质性质 4 4（唯一性）随机变量的分布函数仅由特征函数决定.( )F x( ) t证明 设是任取的的连续点.令设在的连续点趋近，则有x( )F xzF.1( )lim lim( )2itzitx A AzAeeF xt dtit根据分布函数左连续，并且的连续点在直线上稠密，即对每个有的连续点F(,)x F.,mxxmxx陕西理工学院学年论文第 3 页 共 9 页从而由
6、其连续点上的值唯一确定.F性质性质 5 5 当且仅当时，函数与都是一个特征函数.( )iatte( ) t1 ( ) t证明 若与都是特征函数，设随机变量与相互独立，且与的特征函数分别( ) t1 ( ) t1212是和.因为的特征函数为，所以.( ) t1 ( ) t121( )1( )tt12(0)1P故有 2 1121211( )()(,)() ()() ()( )F xPxPxxPx PxPx PxF x 因此必存在常数,使得a所以服从单点分布即.0( )1xaF xxa()1,Pa( )iatte反过来，若，则也是特征函数.( )iatte1 ( )iatet所以当且仅当时，与都是特
7、征函数.( )iatte( ) t1 ( ) t性质性质 6 6 设（是任意常数） ，记在时条件特征函数为，则ab, a bYZ( )kt.( )()ibt kkteat证明 ()( )()()()it abitbitbitb kktE eYkE eYk eeat3 3 特征函数的应用特征函数的应用 3.13.1在求数字特征上的应用在求数字特征上的应用求分布的数学期望和方差.),(2N解解 由于的分布的特征函数为 ),(2N222 )(tiet于是由得，kkkEi)0(,)0(,)0(22 22EiiiE由此即得222)(,EEDE陕西理工学院学年论文第 4 页 共 9 页我们可以看出用特征函
8、数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多. 3.23.2 在求独立随机变量和的分布上的应用在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4 推广到n 个独立随机变量的场合,而是 n 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 相 应 的 特 征 函数为n,.,21则 的特征函数为 ),(),.,(),(21tttn nii 1).()(1ttnii 设是n个相互独立的，且服从正态分布 的正态随机变量.试求 ),.,2 , 1(njj),(2 jjaN njj 1的分布.解解 由于 的分布为，故相应的特征为 ，由特征函数的性质 j),(2 jjaN222 )(tiajj
9、jet 可知 的特征函数为 njjtt1)()( njttainjjnjjnjj ett12112121)()( 而这正是 的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知 服从),(121 njjnjjaN).,(121 njjnjjaN3.33.3 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0p1)， 为n 次试验中事件A 出现的n次数，则.21)(22 limdtexnpqnpPxt nn 要证明上述结论只需要证明下面的结论，因为它是下面结论的一个特例。若是一列独立同分布的随机变量，且则有,.,21,.,2
10、 , 1),0(,22kDaEkk.21212 limdtexnna Pxtnkkn陕西理工学院学年论文第 5 页 共 9 页证明 设的特征函数为则ak,tnkknkkna nna11 的特征函数为，nnt 又因为所以, 02aDaEkk 20, 00 于是特征函数有展开式t .211200022222 tttttt 从而对任意的 t 有，.,2122222 nent nt nttn 而是 N（0,1）分布的特征函数，由连续定理可知22t e.21lim212 dtexnna Pxtnkkn成立，证毕。我们知道在dtexnpqnpPxt nn 2221lim中是服从二项分布。的随机变量， n.
11、0 ,nkqpCkpknkk nn为“泊松分布收敛于正态分布” 。我们把上面的结论常常称为dtexPxtn 2221lim“二项分布收敛于正态分布” 。 3.43.4 在求某些积分上的应用在求某些积分上的应用我们知道可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量 服从 dxexxk022其密度函数为： ,21, 0 N陕西理工学院学年论文第 6 页 共 9 页 ,12xexp其特征函数为： ,!41120412 2 itedxeettiitxitx故， !1312 41 !2 4121 2 ktk kktkk k 所以 , ! !1221 !2 4102 kkkkk k 由特征函数的性质 ,2
12、! !120222 kkkkkiE又, 0222dxexExkk故 ,2! !12122kxkkdxex即102 2! !122kxkkdxex3.53.5 在证明极限定理的应用在证明极限定理的应用定理定理 1 1 （辛钦大数定律）设是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在1,2, ，则对任意的，有.(1,2,)iEa i011n p i ian 证明 因为具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数.我们把这个特征函数记1,2, 为，又由于存在，从而特征函数有展开式( ) tiEa( ) t( )(0)(0)tt 再由独立性知的特征函数为11ni in.( )1mmtttiannn 对任意 有t陕西理工学院学年论文第 7 页 共 9 页.lim( )lim 1mm iatnntttiaennn 已知是退化分布的特征函数，对应的分布函数为.根据连续性定理的分布函数iate()I xa11ni in弱收敛于，因为是常数，则有.( )F xa11n p i ian 定理定理 2 2 （林德贝格勒维定理）若是一列独立同分布的随机变量，且1,2, 则有22,(0)1,2,kkEa Dk.2121lim()2ntkxknna pxedtn 证明 设的特征函数，则ka( ) t11nkn ikknaa nn 的特征函数为.()nt n 又因为2()0,
