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1、说明说明B B 的每一列都是齐次线性方程组的每一列都是齐次线性方程组 AX= AX= 0 0 的一个解的一个解. . *例例4 4A为一子块尤其要注意尤其要注意 时的特殊情况时的特殊情况: :1的不同理解的不同理解: :例例5 52本节内容提要本节内容提要 利用利用分块矩阵的初等变换求秩分块矩阵的初等变换求秩 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换2.82.8 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换 分块初等阵分块初等阵3对分块矩阵也可以引进初等变换和对分块矩阵也可以引进初等变换和初等矩阵的概念初等矩阵的概念. .分块矩阵分块矩阵关于子块的关于子块的 一次初等变换一次初等变换, ,可以看作是关于可
2、以看作是关于元素元素的的 一批初等变换一批初等变换的合成的合成. .我们只以分成我们只以分成4 4块块 的情况简单解释的情况简单解释. .设设2.8.12.8.1分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换4定义定义 下面三种针对分块矩阵下面三种针对分块矩阵M M 的变形的变形, , 统称为分块矩阵的初等变换统称为分块矩阵的初等变换: :初等初等行行变换变换 初等初等列列变换变换 ( (1)1)换法换法: : ( (2)2)倍法倍法: : ( (3 3) )消法消法: :l l 这里要假定运算满足可行性原则这里要假定运算满足可行性原则. . l l 为什么要求为什么要求P P 可逆可逆? ?可逆可逆
3、矩阵矩阵5分块初等阵分块初等阵分块单位阵分块单位阵一次一次初等变换初等变换2.8.22.8.2 分块初等阵分块初等阵换法换法: :倍法倍法: :消法消法: :6l l 对分块矩阵进行一次初等对分块矩阵进行一次初等行行( (列列) )变换变换, ,相当于给它相当于给它左左( (右右) )乘以一个相应的分乘以一个相应的分块初等矩阵：块初等矩阵：换法换法: :7消法消法: :倍法倍法: :8l l 分块分块初等变换不改变初等变换不改变分块分块阵的阵的秩秩. . 消法分块消法分块初等变换保持初等变换保持行列式值不变行列式值不变. .l l 用分块用分块初等变换初等变换求逆求逆. .l l l l 对分
4、块对分块阵进行阵进行一次一次初等行初等行( (列列) )变换变换, ,相当相当于对原矩阵进行于对原矩阵进行一系列一系列初等行初等行( (列列) )变换变换. . 分块行行分块列列9例例1 1 求求 ,其中其中A，B 可逆可逆.解解行行行10总结：常用的分块矩阵求逆公式总结：常用的分块矩阵求逆公式 设设 A, , B 都是可逆方阵都是可逆方阵, , 则有下列公式则有下列公式. .11证证例例2 2 用分块方法证明用分块方法证明 其中A、B为n阶方阵.或或12例例3 3证证证明其中A 为n阶可逆矩阵,B为m阶方阵.(行列式第一降阶定理)13例例4 4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,
5、其中A 为mn阶矩阵, B为nm阶阵.证证14利用上式可得利用上式可得时可见书上的说明时可见书上的说明. .为任意数 .15注注 本本例的例的结果可以把结果可以把m阶的行列式转化阶的行列式转化为为n阶的行列式计算阶的行列式计算, , 此时可称为此时可称为( (降阶公式降阶公式). ).尤其是当尤其是当n =1=1时时, ,即即A A为为1 1列列B B为为1 1行时行时, ,等式的右端即为等式的右端即为1 1个数个数. .16例例5 5计算计算解解1718复习复习 秩的运算性质（秩的运算性质（1 1） 若若A 是mn 矩矩阵阵, ,则则1. 0r(A)minm,n2. r(AT)=r(A)3.
6、 r(kA)=0 k = 0 r(A) k04. r(A1)r(A),(A1为为 A的子阵的子阵) 192.8.32.8.3 秩的运算性质秩的运算性质（2 2）证证 设 5.则存在可逆阵则存在可逆阵 使使20令216.证证 设 则存在可逆阵 使令22=Er1 0 0 0 0 0 Er2 0 0 0 0 0P1CQ223例例1 1证证7.248. r(A+B)r(A)+r(B)证证证证r(A)=r(A 0)= r(A AB)r(AB)例例2 29.25证证r(A)+r(B)且 AB = 0 时，10.A为 矩阵,B为 矩阵,且 AB = 0 时,有265.6.7. 8.秩的运算性质秩的运算性质（
7、2 2）且 AB = 0时 ，10.A为 矩阵,B为 矩阵,则9.27矩阵基本运算逆 矩 阵初等变换秩分块矩阵线性运算(加法、数乘) 乘法方幂(求方幂的方法)转 置 定义及运算性质求 法伴随矩阵法初等变换法 初等阵等秩、等价，行阶梯、标准形 定 义 性 质10条 求 法：初等(行)变换 加, 数乘, 乘,幂, 转置, 逆, 初等变换行列式乘法公式定义法判 别5条应用：线性方程组28可逆的判别可逆的判别( (5 5条条) )A与E 等价,PAQ=E, 为初等阵初行列使可逆可逆A E29伴随矩阵伴随矩阵 1.基本公式:2.求逆:若A可逆,3.性质:(n2)(n2)301.求方幂求方幂: :4,5,
8、11,22,23(注意秩为注意秩为1 1的矩阵的矩阵 ).2.求逆求逆: :8(矩阵多项式方程矩阵多项式方程 )14,16.4.初等变换初等阵初等变换初等阵: :21,32.补充题补充题. 5 5.涉及伴随矩阵涉及伴随矩阵: :25,26,34. 6.求秩求秩: :证明秩的等式证明秩的等式: :19,20. 7 7.分块阵分块阵:21,27,30,31,32,33. 8 8.证明题证明题: :17,18,28,29.3 3.解矩阵方程解矩阵方程: :(考查矩阵运算及性质考查矩阵运算及性质)9,10,13,15(先化简先化简).第第二章常见的题型章常见的题型31例例1 1解解求方幂求方幂可知所以
9、3233例例2 2A可逆,将A的i,j 两行互换得B,求 .解解初等变换与初等阵初等变换与初等阵34例例3 3其中A可逆,则35解解应选择( C ).36例例4 4解解X 满足设解矩阵方程、求逆的问题解矩阵方程、求逆的问题因为 所以 即 所以37所以用初等变换可求出逆为可逆.38例例5 5为3阶非零矩阵 ，设解解关于秩的问题关于秩的问题39设A与B是两个n阶非零方阵，满足AB = 0，则A与B的秩为 （A）都等于n.（B）必有一个为零. （C）都小于n.（D）若其中一个等于n,则另一个必小于n. 解解因为A 0, B 0, r(A)1, r(B) 1,所以A与B的秩都小于n.例例6 640例例
10、7 7 设A为43阶矩阵,且r(A)=2,而,则解解1 1 B为可逆阵,则可写成初等阵之积, AB即相当于对A进行初等列变换, 初等变换不变秩,故r(AB)=r(A)=2.解解2 2故 r(AB)=r(A)=2.2解解3 341例例8 8设A为n阶幂等矩阵,即 ,求证 证证由得故故证明秩的等式证明秩的等式42设设A 为为n阶矩阵阶矩阵( (n 2 2) ), , A*是是A的的伴随伴随 矩阵矩阵, ,则则有有( (A) A) (A*)*=|A|n-1A (B) (B) (A*)*=|A|n+1A(C) (C) (A*)*=|A|n-2A (D) (D) (A*)*=|A|n+2A例例9 9关于
11、伴随关于伴随解解(1)当A可逆时,知A*可逆可逆(2)若A不可逆,则|A|=0, r(A)n, r(A*)*=0,所以所以(A*)*=0=0A=0.结论成立.43若若A为为n阶矩阵阶矩阵(n2), 则则证证(1) (1) 如果如果r(A)=n, , 由由A*A=|A|E知知A*可逆可逆, ,从而从而r(A*)=n. . (2) (2) 如果如果r(A) n-2, , 由由A* *的定义知的定义知A*= = 0 r(A*)=0. (3)(3)如果如果r(A)=n-1, A* 0, r(A*) 1. .又|A|=0, A*A=0, , r(A) + + r(A*) n r(A*) n- -r(A)
12、=1 r(A*)=1. .例例101044证证 由得故A可逆 .不妨设例例1111将 按第k 行展开，设 A为三阶非零实矩阵，,并求证由已知由已知 A*=AT, , AAT=|A|E |A| 2(|A|-1)=0 所以由所以由|A|0知知|A|=1. .得到得到|A|2= |A|3 ,45设 A, B 为n 阶方阵,证明证证例例121246例例1313 设设4 阶矩阵阶矩阵A=(1 2 3 4), B=(1 2 3 4) . . 如果如果A=1,B=2, 那么那么A+B的值为的值为: : ( (A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 24A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 24 A
13、+B=|1+1 22 23 24 |解解应选应选( (D).D).= 23 |1 + 1 2 3 4 | =23 (A+B) =24分块阵的分块阵的行列式行列式47下次作习题二中的部分习题下次作习题二中的部分习题(-) (-) Bye!Bye!48（例（例1111）设设A=(A=(a aij ij) ) 是是3 3阶实非零矩阵阶实非零矩阵, , 已已 知知a aij ij=A=Aij ij, , 求求| |A|.A|. 解解 根据已知根据已知, , A=(A=(a aij ij). ). 假定假定A A的第一行有的第一行有 非零元素非零元素, , 把把| |A|A|分别按照第分别按照第1 1行展开行展开, , 可以得到可以得到: :由已知由已知, , A*=AA*=AT T, , 所以所以AAAAT T=|A|I, =|A|I, 容易由容易由 得到得到| |A|A|2 2= |A|= |A|3 3所以所以| |A|=1.A|=1.49
