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1、1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性一、增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.(1)增函数：当x1f(x2)思考：在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1,x2D”改为“存在x1,x2D”？提示：不能.如函数y=x2，虽然f(2)f(1)，但函数y=x2在定义域上不是增函数.二、函数的单调性及单调区间增函数或减函数（严格的）单调性单调区间判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( )(2)对于函数f(x)=|x|，由于f(2)f(1)，故该函数在
2、定义域内是增函数.( )(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3).( )提示：(1)错误，如函数y= 在定义域上不是单调函数.(2)错误，函数f(x)=|x|在(,0上是减函数，在(0，+)上是增函数.(3)正确，由于函数f(x)为R上的减函数，-3 f(3).答案：(1) (2) (3)【知识点拨】1.增函数、减函数定义的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质.(2)定义中的x1，x2有以下三个特征：任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；有大小；属于同
3、一个单调区间.(3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化.2.从三方面正确理解单调函数(1)有些函数在定义域上是单调的，如函数y=x. 有些却只在定义域内的子区间上单调，如y=x2在(-,0)上为减函数,在0, +)上为增函数.还有不单调的函数，如y=3.(2)函数在定义域的某几个子区间上都具有相同的单调性，也不一定在定义域上是单调的.如f(x)= 有两个减区间(-,0)和(0, +)，但在定义域上不是单调的.(3)注意定义域是否含有端点值.例如，y=x2的减区间为(-,0)也可以写成(-,0,但f(x)= 的减区间只能写成(-,0)和(0,+).3.增减函数与图象升降的关
4、系若函数f(x)在区间D上是增函数，则f(x)的图象在D上是上升的；若函数f(x)在区间D上是减函数，则f(x)的图象在D上是下降的，反之亦然.类型 一 函数单调性的判定或证明 【典型例题】1.f(x)=-2x-1在(-,+)上是_(填“增函数”或“减函数”).2.证明函数f(x)=x+ 在(0,1上是减函数.【解题探究】1.判断一个函数在某一区间上是单调函数的依据是什么？2.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么？探究提示：1.判断一个函数在某一区间上是增函数还是减函数，可利用增函数与减函数的定义，除了利用定义判断外，还可以通过图象来判断.2.由提示1可知利用定义来证明.
5、关键的步骤是作差后的变形及符号的判定，同时它们也是证明时容易出错的关键位置.【解析】1.方法一：设x1,x2为(-,+)上的任意两个实数且x10，即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=-2x-1在(-,+)上是减函数.方法二：函数的图象如图所示：由图象可知f(x)=-2x-1在(-,+)上是减函数.答案：减函数2.任取x1,x2(0,1且x10，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)=x+ 在(0,1上是减函数.【拓展提升】1.判断函数单调性常用的方法(1)定义法：一般按照取值、作差变形、判断符号、得出结论这样的顺序进行.(2)图象法：作出函数图象，由图象上升或下降判断出单调性.2.定义
6、法判断或证明函数单调性的四个步骤【变式训练】证明函数f(x)=x2+2在(,0)上是减函数.【解析】设x1,x2为(,0)上的任意两个实数且x10，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x2+2在(,0)上是减函数.类型 二 求函数的单调区间 【典型例题】1.f(x)=2x2+4x3的增区间为_.2.f(x)= 的减区间为_.3.作出函数 的图象，并指出其单调区间.【解题探究】1.求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？2.求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？3.求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？探究提示：1.应
7、明确二次函数图象的开口方向和对称轴.2.应本着定义域优先的原则，首先确定好该函数的定义域，在函数的定义域内讨论该函数的单调区间.3.对于函数解析式中含有绝对值号的应首先根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.【解析】1.f(x)=2x2+4x3开口向下，对称轴为x=1，故其增区间为(,1).答案：(,1)2.f(x)= 的定义域为(,1)(1,+)，任取x1,x2(,1)且x1f(x2)，(,1)为f(x)= 的减区间，同理可得(-1,+)也为f(x)= 的减区间 .答案：(,1),(-1,+)3.原函数可化为其图象为由图象知，函数的增区间为3,+)，减区间为(,3.【互动探究】对于
8、题3，若函数改为“f(x)=|x-3|+|x+4|”，又如何确定该函数的单调区间？【解题指南】根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.【解析】原函数可化为其图象为：由图象知，函数的增区间为3,+),减区间为(-,-4.【拓展提升】求函数单调区间的两个方法及三个关注点(1)两个方法:方法一:定义法,即先求定义域,再用定义法进行判断求解.方法二:图象法,即先画出图象,根据函数图象求单调区间.(2)三个关注点:关注一：求函数的单调区间时,要先求函数的定义域.关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识,可以直接使用.关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写,用“和”
9、或“,”连接,不能用“”连接.类型 三 函数单调性的应用 【典型例题】1.如果函数f(x)在a,b上是增函数，那么对于任意的x1，x2a,b(x1x2)，下列结论中不正确的是( )A.B.(x1x2)f(x1)f(x2)0C.若x1x2,则f(a)0)，则F(x)= 在(0,+)上为_(填“增函数”或“减函数”).2.已知函数f(x)与g(x)是R上的增函数，求证：f(g(x)在R上是增函数.【解析】1.任取x1,x2(0,+)且x10)，所以即F(x1)F(x2)，故F(x)= 在(0,+)上为减函数.答案：减函数2.任取x1,x2R，且x10时，cf(x)与f(x)有相同的单调性；当cf(
10、x2)的是( )A.f(x)=x2 B.f(x)=C. f(x)=|x| D.f(x)=2x+1【解析】选B.f(x)= 在(0,+)上为减函数，符合题意.4.若f(x)是R上的减函数，且f(x1)f(x2)，则x1与x2的大小关系是_.【解析】因为f(x)是R上的减函数，所以f(x1)f(x2)时，x1x2.答案:x1x25.若函数f(x)=4x2mx+5在区间2,+)上是增函数，则m的取值范围是_.【解析】由题意，函数f(x)=4x2mx+5的对称轴x= 2，所以m16.答案：m166.试判断函数f(x)= -2在(0,+)的单调性.【解析】函数f(x)= -2在(0,+)上是减函数.设x1,x2是(0,+)上的两个任意实数，且x1x2,则因为0x1x2,所以x2-x10,x1x20,所以f(x1)-f(x2)= 0,即f(x1)f(x2),所以f(x)= -2在(0,+)上是减函数.
