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1、第 1 讲 随机事件的概率最新考纲1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式.知 识 梳 理1频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为nAn事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则
2、事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件B 互为对立事件ABP(AB)P(A)P(B)13.概率的几个基
3、本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B)辨 析 感 悟1对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件()(2)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件()(3)(2014广州调研 C 项)“下周六会下雨”是随机事件()2对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(5)(2014郑州调研 B 项)从 4
4、0 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110各 10 张)中，任取一张， “抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件()3对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(7)(教材习题改编)集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率为 .()13(8)(2014临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是 0.3，甲不输的概率为 0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为 0.5.()感悟提升两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “互斥”是“
5、对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.学生用书第 179 页考点一 事件的关系与运算【例 1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( )AA 与 B 是互斥而非对立事件BA 与 B
6、 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件解析 根据互斥与对立的定义作答，AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC( 为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件答案 D规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系【训练 1】 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是
7、_解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD.故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为彼此互斥事件，而 BD，BDI，故 B 与 D 互为对立事件答案 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D考点二 随机事件的概率与频率【例 2】 某小型超市发现每天营业额 Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数 X有关据统计，当 X700 时，Y4.6；当 X 每增加 10，Y 增加 0.05.已知近 20天 X 的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1
8、900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.(1)完成如下的频率分布表：近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120420(2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的概率解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个，为 1 600 的有 7 个，为 1 900 的有 3 个，为 2 200 的有 2 个故近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表
9、为人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120320420720320220(2)由已知可得 Y4.60.05X1.1，X7001012004.6Y10.6，4.61.110.6，X200700X1 900.P(4.6Y10.6)P(700X1 900)P(X1 100)P(X1 400)P(X1 600).3204207201420710即今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的概率为.710规律方法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率【训练 2】 某市统计的 20102013 年新
10、生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2010 年2011 年2012 年2013 年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001)；(2)该市男婴出生的概率约是多少？解 (1)2010 年男婴出生的频率为 fn(A)0.524.nAn11 45321 840同理可求得 2011 年、2012 年和 2013 年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在 0.510.53 之间，所以该市男婴出生的概率约为 0.52
11、.学生用书第 180 页考点三 互斥事件、对立事件的概率【例 3】 (2014洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？审题路线 (1)分别求等候人数为 0 人、1 人、2 人的概率根据互斥事件的概率求和公式可求(2)思路一：分别求等候人数为 3 人、4 人、5 人及 5 人以上的概率根据互斥事件的概率求和公式可得思路二：转化为求其对立事件的概率根据 P(A)1P( )可求A解 记“无人排队等候”为事件 A
12、， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.规律
13、方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P( )，即运用A逆向思维(正难则反)，特别是“至多” ， “至少”型题目，用间接求法就显得较简便【训练 3】 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率解 法一 (利用互斥事件求概率)记事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球，A3任取 1 球为
14、白球，A4任取 1 球为绿球，则 P(A1)，P(A2) ，P(A3) ，P(A4).5124121321216112根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2) ；51241234(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).5124122121112法二 (利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(
15、A3A4)1P(A3)P(A4)1 .21211234(2)因为 A1A2A3的对立事件为 A4，所以 P(A1A2A3)1P(A4)1112.11121对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)2从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件AA 所含的结果组成的集合的补集创新突破 11全面突破概率与其它知识的综合问题【典例】 (2013新课标全国卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据
