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1、第四节 基本不等式三年13考 高考指数:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件是_.(2)等号成立的条件是：当且仅当_时取等号.(3)其中 称为正数a,b的_， 称为正数a，b的_.a0,b0a=b算术平均数几何平均数【即时应用】判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写或)(1)a2+b22ab(a,bR) ( )(2) (a，bR) ( )(3) (a,bR) ( )(4)
2、(a,b均不为零) ( )【解析】(1)由(a-b)20得a2+b2-2ab0，即a2+b22ab，故(1)正确.(2)由(1)可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab,即(a+b)24ab,即 故(2)正确.(3)由故(3)正确.(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则 故(4)错.答案：(1) (2) (3) (4)2.利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且abM，M为定值，则 等号当且仅当_时成立.(简记：和定积最大)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正实数，且abP，P为定值，则ab_，等号当且仅当_时
3、成立.(简记：积定和最小)abab【即时应用】(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为_.(2)函数 的最大值为_.(3)已知m0,n0且mn81，则m+n的最小值为_.【解析】(1)由 得故xy 等号当且仅当x=1,y= 时取得.(2)x0，当x=0时，f(0)=0；当x0时，f(x)=当且仅当 即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为(3)m0,n0,mn81, 故m+n的最小值为18.答案：(1) (2) (3)18利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要
4、创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式的条件.(2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.【例1】(1)(2012无锡模拟)若x-3，则 的最小值为_.(2)已知x,y为正实数，且满足 则xy的最大值为_.(3)已知a，b为正实数且a+b=1，则 的最小值为_.【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)直接应用基本不等式求解.(3)将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.【规范解答】(1)由x-3得x+30,又 等号成立的条件是即答案：(
5、2)因为x,y为正实数，所以所以 即xy3,当且仅当 y=2时等号成立.答案：3(3)a0,b0,a+b=1, 同理等号成立的条件为答案：9【互动探究】若将本例(1)中x-3去掉，而求 的取值范围，又将如何求解？【解析】分情况讨论，由题意得x-3,(1)当x-3时，由例题可知(2)当x0,等号成立的条件是故 的取值范围是【反思感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值.2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.【变式备选】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_【解析】xy=2x+y+6 令xy=t2(t0),可得t2-60，注意到t0，解得 故xy
6、的最小值为18.答案：18基本不等式的实际应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水
7、池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米.则总造价f(x)=400(2x+ )+2482x+80162=1 296x+ +12 960=1 296(x+ )+12 9601 296 +12 960=38 8
8、80(元)，当且仅当 (x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.(2)由限制条件知设由函数性质易知g(x)在 上是增函数，当 时(此时 ),g(x)有最小值，即f(x)有最小值=38 882(元).当长为16米，宽为 米时，总造价最低，为38 882元.【反思感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费
9、、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为万元.设汽车的年平均费用为y万元，则有当且仅当 即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出
10、现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.【例3】(1)(2012杭州模拟)设x,yR，a1,b1，若ax=by=4且 则 的最大值为_.(2)已知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过定点P，且点P在直线 (a,bR+)上，则3a+2b的最小值为_.【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可求.(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故 =log4a+log4b=log4ab.又a1,b1,故 等号当且仅当即x=y
11、=4时等号成立. 的最大值为答案：(2)由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为(-4，2)，又P在直线 (a,bR+)上，故 即当且仅当3a2=4b2，即 时等号成立.3a+2b的最小值为答案：【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点P(-1，2)，依题意，P在直线上，故即等号当且仅当 时取得.所以3a+2b的最小值为【反思感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建x,y与a,
12、b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.【变式备选】设x,y满足约束条件 若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为8，则a+b的最小值为_.【解析】已知x,y满足约束条件 其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，( 0)，(1，4)，易见目标函数z=abx+y(a0,b0)在(1，4)取最大值8，所以8=ab+4，即ab=4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4【易错误区】忽视题目的隐含条件致误【典例】(20
13、11江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可.【规范解答】由题意可知 的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P(x, )与Q(-x, )，由两点间距离公式可得等号当且仅当x2=2，即 时取得.答案：4【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不
14、会解.(2)有些同学设出直线方程与 联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解.备 考 建 议解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；(3)思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.1.(2011福建高考)若a0,b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于 ( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9【解析】选D.由题意得f(x)=12x2-2ax-2b,函数f(x)在x=1处有极值，f(1)=0,1
